Демоверсия ЕГЭ 2027 по математике — профильный уровень

Даны векторы $\vec a=(2;2)$ и $\vec b=(2;-2)$. Найдите длину вектора $7\vec a+\vec b$.

Даны векторы $\vec a=(5;3)$ и $\vec b=(4;-6)$. Найдите скалярное произведение $\vec a\cdot\vec b$.

В сборнике билетов по химии всего 80 билетов, в 56 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Углеводороды».

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 14 из Аргентины, 10 из Бразилии, 15 из Парагвая и 11 из Уругвая. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Бразилии.

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,2. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.

Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Найдите корень уравнения $4^{x-4}=64$.

Найдите корень уравнения $\sqrt{99-7x}=6$.

Найдите корень уравнения $\log_8(5x+47)=3$.

Найдите значение выражения $\dfrac{3\sin 164^\circ}{\sin 82^\circ\cdot\sin 8^\circ}$.

Найдите значение выражения $\log_{0{,}6}50-\log_{0{,}6}18$.

Найдите значение выражения $25^{2\sqrt8+3}\cdot 5^{-3-4\sqrt8}$.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0=15\ \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a=2\ \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь

Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=8\cdot10^{-6}\ \text{Ф}$. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=5\cdot10^6\ \text{Ом}$. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=56\ \text{кВ}$. После выключения телевизора напряжение убывает до значения $U$ (в киловольтах) за время $t$ (в секундах), определяемое выражением

Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 180 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км/ч}^2$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный путь в километрах. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,3 км, развить скорость 120 км/ч. Ответ дайте в $\text{км/ч}^2$.

Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?

Заказ на изготовление 112 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если первый за час изготавливает на 2 детали больше?

В июле 2030 года планируется взять кредит 182 000 рублей в банке на три года. Условия возврата:

• каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?

1. а)Решите уравнение $\cos 2x+\sqrt2\cos(x+\pi)+1=0$.
2. б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

1. а)Решите уравнение $4\cos\left(x+\dfrac\pi4\right)+2\sqrt2\cos(\pi-x)=2$.
2. б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{17\pi}{2};10\pi\right]$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

1. а)Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны.
2. б)Найдите объём пирамиды $MABF$, если $AB=12$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $30^\circ$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны 6. На рёбрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM=AK=4$.

1. а)Докажите, что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $5:4$.
2. б)Найдите косинус угла между прямой $AC$ и плоскостью $CMK$.

Решите неравенство $2^{\log_2^2(\log_2x)}+\log_4^2x-3\leq0$.

Решите неравенство

На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon=50\ \text{В}$ и внутренним сопротивлением $r=1\ \text{Ом}$. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи определяется законом Ома:

Тепловая мощность, выделяемая в нагрузке, рассчитывается по формуле Джоуля — Ленца $P=I^2R$. Какова максимальная тепловая мощность $P$, которая может быть выделена нагрузкой?

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой

где $k=0{,}91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0=9^\circ$ — угол наибольшего волнового склона, $\tau$ — период волны в секундах, $T=14{,}7\ \text{с}$ — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n=0{,}0792$ — коэффициент сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH$.

1. а)Докажите, что $\angle OAC=45^\circ$.
2. б)Найдите длину отрезка $BC$, если $BO=1$ и $AC=6$.

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

1. а)Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$.
2. б)Найдите длину отрезка $NO$, если $AC=10$ и $AB=24$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На синих карточках написаны различные числа, делящиеся на 5, а на красных — различные чётные числа; некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей и один раз на красной карточке. Все числа на карточках больше $-120$.

Наибольшее число на красной карточке равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число на синей карточке равно количеству красных карточек.

1. а)Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
2. б)Может ли число красных карточек быть на 90 больше числа синих?
3. в)Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей.

1. а)Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей?
2. б)Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей?
3. в)Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?