Главная›Математика›Школа Пифагора›Вариант №1

ШКОЛА ПИФАГОРА · ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Вариант №1 Школы Пифагора — ЕГЭ 2027 по математике

Пройдите тренировочный вариант по профильной математике: решайте задания онлайн, проверяйте краткие ответы и сравнивайте свои решения с разборами автора.

20заданий в варианте

235 минутвремя на работу

20 решенийразборы автора

Начать решать Перейти к части 2 Скачать вариант с ответами

iСоставитель: Школа Пифагора, Евгений Пифагор. Задания, ответы и рисунки перенесены из тренировочного КИМ №1. Задания 1–13 проверяются автоматически, для заданий 14–20 доступны черновики и авторские решения. Ответы и критерии также опубликованы в PDF.

ЧАСТЬ 1

Задания с кратким ответом

Введите число и нажмите «Проверить».
Можно использовать запятую или точку.

Краткий ответ

Задание 1 — Планиметрия

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

В треугольнике $ABC$ $AD$ — биссектриса, угол $C$ равен $104^\circ$ , угол $CAD$ равен $5^\circ$ . Найдите угол $B$ . Ответ дайте в градусах.

Треугольник ABC с биссектрисой AD — Оригинальный рисунок из варианта Школы Пифагора

Ответ

Показать ответ и решение задания 1

Ответ: 66

Авторское решение задания 1 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 2 — Векторы

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

Даны векторы $\vec a\,(41;\,0)$ и $\vec b\,(1;\,-1)$ . Найдите длину вектора $\vec a-20\vec b$ .

Ответ

Показать ответ и решение задания 2

Ответ: 29

Авторское решение задания 2 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 3 — Стереометрия

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 1,5. Найдите объём куба.

Куб и плоскость, отсекающая треугольную призму через середины двух рёбер — Оригинальный рисунок из варианта Школы Пифагора

Ответ

Показать ответ и решение задания 3

Ответ: 12

Авторское решение задания 3 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 4 — Вероятность

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 16 из них встречается вопрос по логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по логарифмам.

Ответ

Показать ответ и решение задания 4

Ответ: 0,8

Авторское решение задания 4 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 5 — Сложная вероятность

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Ответ

Показать ответ и решение задания 5

Ответ: 0,16

Авторское решение задания 5 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 6 — Математическое ожидание

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

Выигрыш (в рублях)	100	1000	5000	10 000	50 000
Число выигрышных билетов	500	100	50	10	1

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Ответ

Показать ответ и решение задания 6

Ответ: 55

Авторское решение задания 6 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 7 — Уравнения

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

Найдите корень уравнения

(6x-13)^2=(6x-11)^2.

Ответ

Показать ответ и решение задания 7

Ответ: 2

Авторское решение задания 7 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 8 — Преобразования выражений

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

Найдите значение выражения

(5^4)^6:5^{22}.

Ответ

Показать ответ и решение задания 8

Ответ: 25

Авторское решение задания 8 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 9 — Производная по графику

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ . На оси абсцисс отмечены семь точек: $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4,\ x_5,\ x_6,\ x_7$ . В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ положительна?

График функции y=f(x) с семью отмеченными точками x1–x7 на оси абсцисс — Оригинальный рисунок из варианта Школы Пифагора

Ответ

Показать ответ и решение задания 9

Ответ: 4

Авторское решение задания 9 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 10 — Прикладная задача

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

На рисунке изображена схема моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.

Введём систему координат: ось $Oy$ направим вертикально вверх вдоль одного из пилонов, а ось $Ox$ направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой

y=0{,}0043x^2-0{,}74x+35,

где $x$ и $y$ измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 70 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Схема моста с пилонами, цепью, вантами и осями координат — Оригинальный рисунок из варианта Школы Пифагора

Ответ

Показать ответ и решение задания 10

Ответ: 4,27

Авторское решение задания 10 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 11 — Текстовая задача

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

Два велосипедиста одновременно отправились в 140-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Ответ

Показать ответ и решение задания 11

Ответ: 14

Авторское решение задания 11 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 12 — График линейной функции

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=kx+b$ . Найдите значение $f(7)$ .

График линейной функции f(x)=kx+b с отмеченными точками (0;−1) и (1;1) — Оригинальный рисунок из варианта Школы Пифагора

Ответ

Показать ответ и решение задания 12

Ответ: 13

Авторское решение задания 12 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

Краткий ответ

Задание 13 — Кредит и платежи

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 550 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Ответ

Показать ответ и решение задания 13

Ответ: 720000

Авторское решение задания 13 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере.

ЧАСТЬ 2

Задания с развёрнутым ответом

Запишите полное решение.
Затем сверьтесь с разбором автора.

Развёрнутый ответ

Задание 14 — Тригонометрическое уравнение

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

а) Решите уравнение

2\sin^2 x=\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2};\,-\pi\right]$ .

Ваше развёрнутое решение

Черновик хранится только в этом браузере. Сверьте решение с авторским разбором ниже.

Показать ответ и решение задания 14

Ответ:

а) $\pi n$ , $-\frac{\pi}{6}+2\pi n$ , $-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ ; $n\in\mathbb Z$ .

б) $-\frac{13\pi}{6};\ -2\pi;\ -\pi$ .

Авторское решение задания 14 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере. Сравните все шаги и обоснования; развёрнутое решение автоматически не оценивается. Критерии приведены в исходном файле.

Развёрнутый ответ

Задание 15 — Стереометрия с доказательством

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

Длина диагонали куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 3. На луче $A_1C$ отмечена точка $P$ так, что $A_1P=4$ .

а) Докажите, что $PBDC_1$ — правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка $AP$ .

Ваше развёрнутое решение

Черновик хранится только в этом браузере. Сверьте решение с авторским разбором ниже.

Показать ответ и решение задания 15

Ответ:

б) $\sqrt{11}$ . Доказательство пункта а) приведено в решении.

Авторское решение задания 15 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере. Сравните все шаги и обоснования; развёрнутое решение автоматически не оценивается. Критерии приведены в исходном файле.

Развёрнутый ответ

Задание 16 — Показательное неравенство

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

Решите неравенство

3^x-\frac{702}{3^x-1}\geq0.

Ваше развёрнутое решение

Черновик хранится только в этом браузере. Сверьте решение с авторским разбором ниже.

Показать ответ и решение задания 16

Ответ:

(-\infty;\,0)\cup[3;\,+\infty)

Авторское решение задания 16 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере. Сравните все шаги и обоснования; развёрнутое решение автоматически не оценивается. Критерии приведены в исходном файле.

Развёрнутый ответ

Задание 17 — Оптимизация

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon=50$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I=\frac{\varepsilon}{r+R}$ . Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: $P=I^2R$ . Какова максимальная тепловая мощность $P$ , которая может быть выделена нагрузкой?

Ваше развёрнутое решение

Черновик хранится только в этом браузере. Сверьте решение с авторским разбором ниже.

Показать ответ и решение задания 17

Ответ:

625 Вт.

Авторское решение задания 17 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере. Сравните все шаги и обоснования; развёрнутое решение автоматически не оценивается. Критерии приведены в исходном файле.

Развёрнутый ответ

Задание 18 — Планиметрия с доказательством

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника $ABC$ вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке $L$ . Прямая, проходящая через точку $L$ и середину $N$ гипотенузы $AB$ , пересекает катет $BC$ в точке $M$ .

а) Докажите, что $\angle BML=\angle BAC$ .

б) Найдите площадь треугольника $ABC$ , если $AB=20$ и $CM=3\sqrt5$ .

Ваше развёрнутое решение

Черновик хранится только в этом браузере. Сверьте решение с авторским разбором ниже.

Показать ответ и решение задания 18

Ответ:

б) 80. Доказательство пункта а) приведено в решении.

Авторское решение задания 18 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере. Сравните все шаги и обоснования; развёрнутое решение автоматически не оценивается. Критерии приведены в исходном файле.

Развёрнутый ответ

Задание 19 — Задача с параметром

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

\frac{x^2-a(a-1)x-a^3}{\sqrt{3+2x-x^2}}=0

имеет ровно два различных корня.

Ваше развёрнутое решение

Черновик хранится только в этом браузере. Сверьте решение с авторским разбором ниже.

Показать ответ и решение задания 19

Ответ:

(-\sqrt3;\,-1)

∪

(-1;\,0)

∪

(0;\,1)

Авторское решение задания 19 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере. Сравните все шаги и обоснования; развёрнутое решение автоматически не оценивается. Критерии приведены в исходном файле.

Развёрнутый ответ

Задание 20 — Теория чисел

Вариант №1Школа Пифагора · 2027

а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?

б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?

в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?

Ваше развёрнутое решение

Черновик хранится только в этом браузере. Сверьте решение с авторским разбором ниже.

Показать ответ и решение задания 20

Ответ:

а) Да. б) Нет. в) 5.

Авторское решение задания 20 варианта №1 — Школа Пифагора — Авторское решение из исходного PDF. Нажмите на изображение, чтобы открыть его в полном размере. Сравните все шаги и обоснования; развёрнутое решение автоматически не оценивается. Критерии приведены в исходном файле.