Вариант Ларина №543 — ЕГЭ 2027 по математике

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с гипотенузой $AB=25$ на катете $AC=15$ как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу $AB$ в точке $K$. Найдите длину отрезка $BK$.

Открыть рисунок к заданию 1 в PDF (страница 1)

Даны векторы $\vec a$ и $\vec b$, причём $|\vec a|=3$, $|\vec b|=5$, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите квадрат длины вектора $2\vec a+\vec b$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны $2\sqrt6$. Найдите расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани $SCD$.

Открыть рисунок к заданию 3 в PDF (страница 1)

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из пяти мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первые три мишени и не попадёт в последние две.

В урне находятся 3 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара, не возвращая их обратно. После этого из оставшихся шаров наугад вынимают еще один шар. Найдите вероятность того, что этот третий шар окажется белым.

Игральный кубик бросают до тех пор, пока сумма выпавших очков не станет больше или равна 3. Найдите математическое ожидание числа сделанных бросков. Ответ округлите до сотых.

Найдите корень уравнения

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Найдите значение выражения

К графику функции $y=x^3-3x^2+2x+5$ проведена касательная, проходящая через точку $(1;3)$, которая не лежит на графике. Найдите угловой коэффициент этой касательной.

Два тела массой $m_1=3$ кг и $m_2=5$ кг связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок. Путь, пройденный системой за время $t$, выражается формулой

где $g=10$ м/с² — ускорение свободного падения. Определите, через сколько секунд после начала движения скорость системы достигнет 5 м/с.

Два промышленных насоса, работая совместно, способны откачать воду из затопленного котлована за 12 часов. Если сначала первый насос откачает ровно половину объема воды, а затем его сменит второй насос и откачает оставшуюся половину, то вся работа займет 25 часов. Известно, что производительность первого насоса выше производительности второго. За сколько часов может откачать всю воду из котлована один первый насос, работая самостоятельно?

На рисунке изображены графики функций $f(x)=-2x^2+7x-2$ и $g(x)=ax^2+bx+c$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$.

Открыть рисунок к заданию 12 в PDF (страница 2)

15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где $r$ — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей.

Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

А) Решите уравнение

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 4. На ребре $A_1B_1$ отмечена точка $N$ так, что $B_1N=1$. Плоскость $\alpha$ проходит через середину ребра $A_1C_1$ и точки $N$ и $C$.

А) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BB_1$ в отношении $1:2$, считая от точки $B_1$.

Б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $ABB_1$.

Решите неравенство:

При подключении последовательного контура к источнику переменного тока амплитуда силы тока $I$ (в амперах) в цепи зависит от циклической частоты $\omega$ (в рад/с) и выражается формулой:

где $U=220$ В — амплитуда напряжения источника, $R=44$ Ом — активное сопротивление цепи, $L=0{,}2$ Гн — индуктивность катушки, а $C=20$ мкФ $=20\cdot10^{-6}$ Ф — ёмкость конденсатора. Найдите наибольшую возможную силу тока (в амперах) в этой цепи.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Площади треугольников AOB и COD равны соответственно 4 и 9.

А) Докажите, что произведение площадей треугольников BOC и AOD равно 36.

Б) Найдите минимально возможную площадь четырёхугольника ABCD.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один действительный корень.

Юра и Полина выписали на доску каждый по несколько попарно различных натуральных чисел. При этом одно и то же число может быть выписано и Юрой, и Полиной. Оказалось, что ни у кого из них на доске нет числа 100, а среднее арифметическое чисел Юры в точности равно среднему арифметическому чисел Полины (и является целым числом). Известно, что если к числам Юры добавить число 100, то среднее арифметическое его чисел увеличится на 2. Если же число 100 добавить к числам Полины, то среднее арифметическое её чисел увеличится на 3.

А) Могло ли у Юры быть выписано ровно на 4 числа больше, чем у Полины?

Б) Могло ли исходное среднее арифметическое выписанных чисел равняться 16?

В) Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано у Полины?