Вариант Ларина №544 — ЕГЭ 2027 по математике

В параллелограмме диагонали равны 14 и 18, а стороны относятся, как 2:3. Найдите квадрат периметра этого параллелограмма.

Открыть рисунок к заданию 1 в PDF (страница 1)

Даны векторы $\vec a=(6;-3)$ и $\vec b=(x;8)$. Найдите положительное значение $x$, при котором длина вектора $\vec a+\vec b$ равна длине вектора $\vec a-\vec b$.

В кубе $ABCDEFGH$ точки $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$, $P_6$ — центры граней, а объём куба равен 6. Найдите объём октаэдра с вершинами в точках $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$, $P_6$.

Открыть рисунок к заданию 3 в PDF (страница 1)

В баре «У Слепого Пса» стоит 3 стула: первый целый, второй шатается, третий — замаскированная яма в подвал. Если сесть на 1-й стул — наливают бесплатно с вероятностью 0,9, если сесть на 2-й стул — наливают бесплатно с вероятностью 0,5, если сесть на 3-й стул — наливают бесплатно с вероятностью 0,01. Ковбой Джон заходит и наугад выбирает один из стульев. Какова вероятность для ковбоя получить свой напиток?

В баре «У Слепого Пса» стоит 3 стула: первый целый, второй шатается, третий — замаскированная яма в подвал. Если сесть на 1-й стул — наливают бесплатно с вероятностью 0,9, если сесть на 2-й стул — наливают бесплатно с вероятностью 0,5, если сесть на 3-й стул — наливают бесплатно с вероятностью 0,01. Ковбой Джон заходит и наугад выбирает один из стульев. Известно, что ему налили. Какова вероятность, что ковбой сидит на третьем стуле? Ответ округлите до тысячных.

В лотерее выпущено 8000 билетов. Выигрыши распределились в соответствии с таблицей. Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Решите уравнение

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Найдите значение выражения

при $a=7$.

На рисунке изображён график $y=f^{\prime}(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;3)$. Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Открыть рисунок к заданию 9 в PDF (страница 2)

На суперсовременном аттракционе кабина с пассажирами начинает контролируемое падение. Высота кабины над землёй $h$ (в метрах) изменяется по закону $h(t)=50-10t+0{,}5t^2$, где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента начала падения. Для безопасности пассажиров на аттракционе установлена автоматическая система магнитной фиксации, которая жёстко блокирует кабину, как только она опускается до высоты 8 метров. Через сколько секунд после начала падения сработает система фиксации?

Имеется три раствора кислоты различной концентрации массами 3, 4 и 5 кг. Если смешать первый и второй растворы, то получится раствор с концентрацией кислоты 24%, если смешать второй и третий, то получится раствор с концентрацией кислоты 16%, если смешать первый и третий растворы, то получится раствор с концентрацией кислоты 30%. Сколько процентов кислоты будет, если смешать все три раствора?

На рисунке изображены графики функций вида $f(x)=kx+b$, которые пересекаются в точке $A$. Найдите ординату точки $A$.

Открыть рисунок к заданию 12 в PDF (страница 2)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $x\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите $x$, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.

А) Решите уравнение

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. Точка М – середина ребра SC.

А) Докажите, что сечение, проходящее через точки А, В и М делит пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 3:5.

Б) Найдите угол между плоскостями АВМ и SCD.

Решите неравенство:

На перспективной электростанции исследуется магнитогидродинамический (МГД) генератор, в котором ток вырабатывается за счёт движения плазмы в магнитном поле. Мощность генератора $P$ (в ваттах) зависит от силы тока $I$ (в амперах) и определяется формулой:

где $\varepsilon=1200$ В — ЭДС индукции плазменного потока, а $R_i=1{,}5$ Ом — внутреннее сопротивление канала генератора.

Инженеры управляют силой тока $I$ с помощью изменения скорости подачи ионизированного газа. Связь между силой тока и выбранным безразмерным параметром оптимизации $x$, $x>0$, задаётся технологическим уравнением:

При каком наибольшем значении параметра $x$ мощность МГД-генератора будет максимальной?

В равнобокой трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке Р, а окружности, описанные около треугольников АВР и DPC пересекаются в точках Р и Q.

А) Докажите, что точка Q – центр окружности, описанной около трапеции ABCD.

Б) Найдите площадь треугольника AСQ, если ВС=10, AD=24, а высота трапеции равна 17.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Имеется стальная труба, длина которой составляет целое число метров. Трубу разрезали на N частей, каждая из которых имеет натуральную длину (в метрах), причем все полученные части имеют попарно различную длину. Известно, что никакие три из получившихся частей не могут служить сторонами треугольника.

А) Могла ли исходная труба иметь длину 40 метров, если её разрезали на 6 частей?

Б) Могли ли трубу длиной 100 метров разрезать на 10 частей?

В) Какое наибольшее количество частей могло получиться, если длина исходной трубы составляла 300 метров?