Вариант Ларина №545 — ЕГЭ 2027 по математике

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ и катетом $AC=8$ на катете $AB$ отмечена точка $E$, а на гипотенузе $BC$ — точка $D$ так, что $BE=6$, $BD=2DC$. Найдите площадь треугольника $EDC$.

Открыть рисунок к заданию 1 в PDF (страница 1)

В плоскости заданы два вектора: $\vec a=(3;1)$ и $\vec b=(1;3)$. Известно, что векторы $\vec u=k\vec a+\vec b$ и $\vec v=\vec a-k\vec b$ перпендикулярны. Найдите квадрат модуля вектора $\vec u$ при положительном значении $k$.

В основании пирамиды $SABCDEF$ с высотой $SB$ лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$, $BS=AB$. Найдите угол $SFB$.

Открыть рисунок к заданию 3 в PDF (страница 1)

В кармане у Пети лежит 10 монет: 6 монет по 10 рублей и 4 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, перекладывает 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что сумма монет в другом кармане окажется меньше 25 рублей. Ответ округлите до тысячных.

Редакция крупного научного журнала использует автоматический фильтр, чтобы выявлять статьи, сгенерированные нейросетью. Известно, что 30% всех присылаемых авторами статей пишутся с помощью ИИ. Если статья действительно написана человеком, фильтр ошибочно помечает её как «сгенерированную ИИ» с вероятностью 0,1. Если статья сгенерирована нейросетью, фильтр успешно распознает её и отправляет в бан с вероятностью 0,8. Инженер загрузил в систему одну из присланных статей, и фильтр выдал вердикт: «Статья сгенерирована ИИ». Найдите вероятность того, что эту статью на самом деле написал человек. Результат округлите до десятых.

Стрелок стреляет по мишени 5 раз. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Найдите математическое ожидание случайной величины X — числа попаданий, при условии, что последний выстрел был точным (это условие уже выполнено).

Решите уравнение

Если корней несколько, в ответе укажите больший из них.

Найдите значение выражения:

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента имеет вид:

где $a$, $b$ и $c$ — константы, $t$ — время в минутах. Известно, что при $t=1$ производная равна нулю, а температура равна 400 K, при $t=3$ производная равна нулю, а $T(0)=300$ K. Найдите $c$.

В секретной подземной лаборатории тестируют квантовый ускоритель частиц. Давление газа (в паскалях) внутри камеры охлаждения во время разгона зависит от времени работы по закону:

где $p_0=1{,}5\cdot10^5$ Па — начальное давление, $t$ — время работы установки в минутах. Эксперимент необходимо прекратить, когда давление внутри камеры вырастет до критической отметки $4{,}5\cdot10^5$ Па, иначе произойдёт микровзрыв. Определите максимальное время (в минутах) после начала эксперимента, когда его ещё можно безопасно остановить.

Два профессиональных пилота, Алекс и Никита, тестируют гоночные катера на реке. Изначально скорость течения реки равна 3 км/ч. Трасса проложена по прямой от пирса A до пирса B, расстояние между которыми составляет 60 км. Алекс стартует из пункта A по течению, доходит до B, мгновенно разворачивается и идёт обратно к A. Никита стартует из пункта A по течению на 1 час позже Алекса. В тот самый момент, когда Алекс достигает пирса B, погода резко портится, и скорость течения реки во всём русле мгновенно увеличивается до 5 км/ч. Дойдя до пирса B, Никита обнаруживает проблему с мотором. Он теряет ровно 10/11 часа на пирсе B на экстренный ремонт, а его собственная скорость на обратном пути (против нового течения) из-за этой поломки снижается на 7 км/ч. На своём обратном пути Алекс встречает Никиту (который к тому моменту ещё только идёт вперёд к пирсу B) в точке, находящейся на расстоянии 40 км от стартового пирса A. Никита, несмотря на все беды, завершает квест и возвращается к пирсу A ровно на 12 часов позже, чем туда вернулся Алекс. Найдите исходную собственную скорость катера Никиты (до поломки) в км/ч.

На рисунке изображён график функции $f(x)=\frac{kx+a}{x+b}$. Решите уравнение $f(x)=8$.

Открыть рисунок к заданию 12 в PDF (страница 2)

В июле 2027 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 1 млн рублей. Условия:

— каждый год, начиная с 2028 года, в январе долг увеличивается на 10% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле долг должен быть на 200 тысяч рублей меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько процентов общая сумма выплат в 2029 и 2030 годах больше общей суммы выплат в 2028 и 2031 годах?

А) Решите уравнение

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi;-\frac\pi2\right]$.

В основании пирамиды $SABC$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB=AC=4$, $SA=3$ — высота пирамиды, $SB=5$, $BC=2\sqrt5$. Через вершину $A$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная ребру $SC$.

А) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит объём пирамиды $SABC$ в отношении $27:98$.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$.

Решите неравенство:

Скорость прохождения скальной породы $v$ (в метрах в час) напрямую зависит от пиковой температуры плазменного факела $T$ (в кельвинах):

где $v_0=2$ м/ч — базовый коэффициент установки. В свою очередь, температура факела регулируется углом наклона магнитных линз $\alpha$ (в радианах, $\alpha\in\left[0;\frac\pi2\right]$) по формуле циклического теплообмена:

Инженерам необходимо выставить такой угол наклона линз $\alpha$, при котором скорость бурения $v$ будет минимальной (чтобы безопасно пройти слой нестабильного гранита), но при этом плазма не должна гаснуть (для этого температура $T$ должна строго превышать 1000 K). Найдите этот угол $\alpha$. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром в точке $O$ на гипотенузе $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ касается катета $AB$ в точке $M$, а катета $BC$ — в точке $K$ и пересекает отрезок $AO$ в точке $N$. Известно, что $AN:MN=6:1$.

А) Докажите, что $KC:OC=1:9$.

Б) Найдите $AC$, если $AM=\frac{20}{9}$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно четыре различных корня на отрезке $[-\pi;\pi]$.

Популярный стример Макс проводит праздничный марафон. На стрим зашли несколько зрителей. Среди них есть обычные зрители (каждый задонатил целое число рублей от 100 до 400 включительно) и VIP-зрители (каждый задонатил целое число рублей от 500 до 700 включительно). Изначально средний размер доната среди всех зрителей составил ровно 400 рублей. Затем Макс объявил розыгрыш, и часть зрителей ушла со стрима. При этом средний донат среди оставшихся зрителей вырос и составил ровно 500 рублей, а средний донат среди ушедших зрителей составил ровно 250 рублей.

А) Могло ли изначально на стриме быть 15 зрителей, если среди них было ровно 10 VIP-зрителей?

Б) Могло ли получиться так, что после розыгрыша на стриме осталось ровно 4 зрителя?

В) Какое наибольшее количество зрителей могло изначально быть на стриме, если известно, что среди оставшихся участников был ровно один VIP-зритель?