ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 13 · ФИПИ 6EB02359 из 130

Квадратное неравенство: метод интервалов

Укажите решение неравенства

$8 x - x^{2} < 0$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 6EB023.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Найти множество решений и выбрать номер соответствующего варианта.

Короткий ход решения

Получаем множество $(-\infty;0)\cup(8;+\infty)$ . Ему соответствует вариант 2.

Длинные формулы и схемы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Что записывать: Номер варианта
Метод: Знаки на промежутках

1. Определяем, что означает решение

Решение неравенства — все значения x, при которых оно верно.

- x^{2}

+ 8 x < 0

Найдём всё множество решений, затем сопоставим его с предложенными вариантами и запишем номер.

2. Переносим всё в левую часть

Вычитаем правую часть из обеих частей неравенства. Получаем сравнение многочлена с нулём; множество решений не меняется.

- x^{2}

+ 8 x < 0

Теперь удобно определить, где выражение положительно, отрицательно или равно нулю.

3. Меняем знак всех слагаемых и знак неравенства

Чтобы коэффициент при x² стал положительным, умножаем обе части на −1. При умножении на отрицательное число знак неравенства обязательно меняется на противоположный.

x^{2}

- 8 x > 0

Например, знак «больше» превращается в «меньше», а «не больше» — в «не меньше».

4. Выписываем коэффициенты граничного уравнения

Приравняем выражение к нулю. В записи ax² + bx + c = 0 буква a — коэффициент при x², b — коэффициент при x, c — свободное число. Берём их вместе со знаками.

x^{2}

- 8 x

=0

a

=1,\quad b

=-8,\quad c

=0

Найдём оба корня по общей формуле квадратного уравнения.

5. Вычисляем дискриминант

Дискриминант D = b² − 4ac определяет количество корней. Подставим наши коэффициенты; отрицательные числа заключаем в скобки.

D

=b^{2}

-4ac

(-8)^{2}

-4

\cdot(1)

\cdot(0)

=64

\sqrt{64}

=8

Дискриминант положительный, поэтому есть два разных действительных корня.

6. Находим меньший и больший корни

В формуле x = (−b ± √D)/(2a) один раз берём минус перед корнем, другой раз — плюс. Делим на весь знаменатель 2a.

x_{1,2}

=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}

x_1

=\frac{-(-8)-8}{2\cdot(1)}

=0

x_2

=\frac{-(-8)+8}{2\cdot(1)}

=8

Так как a положительно, знак минус даёт меньший корень. Они разделят прямую на три промежутка.

7. Проверяем корни и разложение на множители

Подставим оба найденных числа: выражение должно обратиться в ноль. Разложение квадратного трёхчлена можно записать как a(x − x₁)(x − x₂).

(0)^{2}

- 8 (0)

=0

(8)^{2}

- 8 (8)

=0

x^{2}

- 8 x

=x (x - 8)

Это объясняет, почему знак может измениться только при переходе через найденные корни.

8. Проверяем знак слева от первого корня

На промежутке $(-\infty;0)$ возьмём удобное число $x=-1$ и подставим его в выражение.

(-1)^{2}

- 8 (-1)

=9

Получилось положительное число. Между соседними корнями линейные множители не меняют знак, поэтому такой знак сохраняется на всём этом промежутке.

9. Проверяем знак между корнями

На промежутке $(0;8)$ возьмём удобное число $x=4$ и подставим его в выражение.

(4)^{2}

- 8 (4)

=-16

Получилось отрицательное число. Между соседними корнями линейные множители не меняют знак, поэтому такой знак сохраняется на всём этом промежутке.

10. Проверяем знак справа от второго корня

На промежутке $(8;+\infty)$ возьмём удобное число $x=9$ и подставим его в выражение.

(9)^{2}

- 8 (9)

=9

11. Выбираем нужные промежутки и проверяем границы

После преобразований нужно, чтобы выражение было положительным. По найденным знакам оставляем соответствующие промежутки.

x\in(-\infty;0)\cup(8;+\infty)

Знак строгий, поэтому оба корня исключаем: ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Решение на координатной прямой — Границы отмечены точными значениями. Направление выделения и тип точек определяются полученными неравенствами. Знаки относятся к выражению после преобразований, с положительным коэффициентом при x².

12. Сопоставляем с вариантами ответа

Нужно совпадение не только чисел на границах, но и стороны выделения, круглых или квадратных скобок, пустых или закрашенных точек.

x\in(-\infty;0)\cup(8;+\infty)

Этому множеству соответствует вариант 2.

13. Записываем ответ

Задание просит номер правильного варианта. В поле вводим одну цифру.

2

Ответ: 2. Сам промежуток или неравенство в поле ответа записывать не нужно.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Множество решений	$(-\infty;0)\cup(8;+\infty)$
Номер варианта	2

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Решите каждое неравенство, сохраняя равносильность преобразований.
При делении или умножении на отрицательное число переверните знак.
Для квадратного неравенства найдите корни и знаки на промежутках; для системы возьмите общую часть решений.
Проверьте включение границ и выберите совпадающий вариант.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

При прибавлении одного и того же выражения к обеим частям знак неравенства сохраняется.
При умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный.
Корни квадратного трёхчлена разделяют прямую на промежутки постоянного знака.
В системе нужны значения, удовлетворяющие всем условиям одновременно.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не забывайте менять знак при делении на отрицательное число.
Не включайте корни в решение строгого неравенства.
Не ограничивайтесь только положительным корнем уравнения с квадратом.
В ответе нужен номер варианта, а не граница промежутка.

Все задания №13 (130)