Квадратное неравенство: метод интервалов

Question

Укажите решение неравенства

$x^{2} \leq 36$ .

Answer 1

Что нужно найти

Найти множество решений и выбрать номер соответствующего варианта.

Короткий ход решения

Получаем множество $[-6;6]$ . Ему соответствует вариант 1.

Длинные формулы и схемы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Что записывать: Номер варианта
Метод: Знаки на промежутках

1. Определяем, что означает решение

Решение неравенства — все значения x, при которых оно верно.

x^{2} \le 36

Найдём всё множество решений, затем сопоставим его с предложенными вариантами и запишем номер.

2. Переносим всё в левую часть

Вычитаем правую часть из обеих частей неравенства. Получаем сравнение многочлена с нулём; множество решений не меняется.

x^{2}

- 36 \le 0

Теперь удобно определить, где выражение положительно, отрицательно или равно нулю.

3. Находим числа, на которых выражение равно нулю

Сначала решаем граничное уравнение. Переносим постоянное слагаемое вправо и делим на положительный коэффициент при x².

x^{2}

=36

x^{2}

=36

У квадрата два корня: положительный и отрицательный. Они разделят прямую на три промежутка.

4. Извлекаем корень и учитываем оба знака

Корень из дроби с положительными числителем и знаменателем можно найти отдельно в числителе и знаменателе.

\sqrt{\frac{36}{1}}

=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{1}}

=6

x_1

=-6

x_2

=6

Корни не всегда входят в ответ: это зависит от того, строгий ли знак в исходном неравенстве.

5. Проверяем знак слева от первого корня

На промежутке $(-\infty;-6)$ возьмём удобное число $x=-7$ и подставим его в выражение.

(-7)^{2}

- 36

=13

Получилось положительное число. Между соседними корнями линейные множители не меняют знак, поэтому такой знак сохраняется на всём этом промежутке.

6. Проверяем знак между корнями

На промежутке $(-6;6)$ возьмём удобное число $x=0$ и подставим его в выражение.

(0)^{2}

- 36

=-36

Получилось отрицательное число. Между соседними корнями линейные множители не меняют знак, поэтому такой знак сохраняется на всём этом промежутке.

7. Проверяем знак справа от второго корня

На промежутке $(6;+\infty)$ возьмём удобное число $x=7$ и подставим его в выражение.

(7)^{2}

- 36

=13

Получилось положительное число. Между соседними корнями линейные множители не меняют знак, поэтому такой знак сохраняется на всём этом промежутке.

8. Выбираем нужные промежутки и проверяем границы

После преобразований нужно, чтобы выражение было неположительным. По найденным знакам оставляем соответствующие промежутки.

x\in[

-6;6]

Знак нестрогий, поэтому оба корня включаем: в них получается допустимое равенство нулю.

Решение на координатной прямой — Границы отмечены точными значениями. Направление выделения и тип точек определяются полученными неравенствами. Знаки относятся к выражению после преобразований, с положительным коэффициентом при x².

9. Сопоставляем с вариантами ответа

Нужно совпадение не только чисел на границах, но и стороны выделения, круглых или квадратных скобок, пустых или закрашенных точек.

x\in[

-6;6]

Этому множеству соответствует вариант 1.

10. Записываем ответ

Задание просит номер правильного варианта. В поле вводим одну цифру.

1

Ответ: 1. Сам промежуток или неравенство в поле ответа записывать не нужно.

Answer 2

Что нужно найти

Найти множество решений и выбрать номер соответствующего варианта.

Answer 3

Короткий ход решения

Получаем множество $[-6;6]$ . Ему соответствует вариант 1.

Answer 4

Длинные формулы и схемы на узком экране можно прокрутить по горизонтали.

Answer 5

Что записывать

Номер варианта

Метод

Знаки на промежутках

Answer 6

1. Определяем, что означает решение

Решение неравенства — все значения x, при которых оно верно.

x^{2} \le 36

Найдём всё множество решений, затем сопоставим его с предложенными вариантами и запишем номер.

Answer 7

x^{2} \le 36

Answer 8

Найдём всё множество решений, затем сопоставим его с предложенными вариантами и запишем номер.

Answer 9

2. Переносим всё в левую часть

Вычитаем правую часть из обеих частей неравенства. Получаем сравнение многочлена с нулём; множество решений не меняется.

x^{2}

- 36 \le 0

Теперь удобно определить, где выражение положительно, отрицательно или равно нулю.

Answer 10

x^{2}

- 36 \le 0

Answer 11

Теперь удобно определить, где выражение положительно, отрицательно или равно нулю.

Answer 12

3. Находим числа, на которых выражение равно нулю

Сначала решаем граничное уравнение. Переносим постоянное слагаемое вправо и делим на положительный коэффициент при x².

x^{2}

=36

x^{2}

=36

У квадрата два корня: положительный и отрицательный. Они разделят прямую на три промежутка.

Answer 13

x^{2}

=36

x^{2}

=36

Answer 14

У квадрата два корня: положительный и отрицательный. Они разделят прямую на три промежутка.

Answer 15

4. Извлекаем корень и учитываем оба знака

Корень из дроби с положительными числителем и знаменателем можно найти отдельно в числителе и знаменателе.

\sqrt{\frac{36}{1}}

=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{1}}

=6

x_1

=-6

x_2

=6

Корни не всегда входят в ответ: это зависит от того, строгий ли знак в исходном неравенстве.

Answer 16

\sqrt{\frac{36}{1}}

=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{1}}

=6

x_1

=-6

x_2

=6

Answer 17

Корни не всегда входят в ответ: это зависит от того, строгий ли знак в исходном неравенстве.

Answer 18

5. Проверяем знак слева от первого корня

На промежутке $(-\infty;-6)$ возьмём удобное число $x=-7$ и подставим его в выражение.

(-7)^{2}

- 36

=13

Получилось положительное число. Между соседними корнями линейные множители не меняют знак, поэтому такой знак сохраняется на всём этом промежутке.

Answer 19

(-7)^{2}

- 36

=13

Answer 20

Получилось положительное число. Между соседними корнями линейные множители не меняют знак, поэтому такой знак сохраняется на всём этом промежутке.

Answer 21

6. Проверяем знак между корнями

На промежутке $(-6;6)$ возьмём удобное число $x=0$ и подставим его в выражение.

(0)^{2}

- 36

=-36

Получилось отрицательное число. Между соседними корнями линейные множители не меняют знак, поэтому такой знак сохраняется на всём этом промежутке.

Answer 22

(0)^{2}

- 36

=-36

Answer 23

Получилось отрицательное число. Между соседними корнями линейные множители не меняют знак, поэтому такой знак сохраняется на всём этом промежутке.

Answer 24

7. Проверяем знак справа от второго корня

На промежутке $(6;+\infty)$ возьмём удобное число $x=7$ и подставим его в выражение.

(7)^{2}

- 36

=13

Получилось положительное число. Между соседними корнями линейные множители не меняют знак, поэтому такой знак сохраняется на всём этом промежутке.

Answer 25

(7)^{2}

- 36

=13

Answer 26

Получилось положительное число. Между соседними корнями линейные множители не меняют знак, поэтому такой знак сохраняется на всём этом промежутке.

Answer 27

8. Выбираем нужные промежутки и проверяем границы

После преобразований нужно, чтобы выражение было неположительным. По найденным знакам оставляем соответствующие промежутки.

x\in[

-6;6]

Знак нестрогий, поэтому оба корня включаем: в них получается допустимое равенство нулю.

Answer 28

x\in[

-6;6]

Answer 29

Знак нестрогий, поэтому оба корня включаем: в них получается допустимое равенство нулю.

Answer 30

Выделяем решение на координатной прямой

Прокрутите схему вбок ↔

$Решение на координатной прямой$

Границы отмечены точными значениями. Направление выделения и тип точек определяются полученными неравенствами. Знаки относятся к выражению после преобразований, с положительным коэффициентом при x².

Открыть схему крупнее ↗

Answer 31

Прокрутите схему вбок ↔

Answer 32

$Решение на координатной прямой$

Answer 33

Открыть схему крупнее ↗

Answer 34

9. Сопоставляем с вариантами ответа

Нужно совпадение не только чисел на границах, но и стороны выделения, круглых или квадратных скобок, пустых или закрашенных точек.

x\in[

-6;6]

Этому множеству соответствует вариант 1.

Answer 35

x\in[

-6;6]

Answer 36

Этому множеству соответствует вариант 1.

Answer 37

10. Записываем ответ

Задание просит номер правильного варианта. В поле вводим одну цифру.

1

Ответ: 1. Сам промежуток или неравенство в поле ответа записывать не нужно.

Answer 38

Ответ: 1. Сам промежуток или неравенство в поле ответа записывать не нужно.

Что проверяем	Результат
Множество решений	$[-6;6]$
Номер варианта	1

Квадратное неравенство: метод интервалов

Разбираем шаг за шагом

1. Определяем, что означает решение

2. Переносим всё в левую часть

3. Находим числа, на которых выражение равно нулю

4. Извлекаем корень и учитываем оба знака

5. Проверяем знак слева от первого корня

6. Проверяем знак между корнями

7. Проверяем знак справа от второго корня

8. Выбираем нужные промежутки и проверяем границы

Выделяем решение на координатной прямой

9. Сопоставляем с вариантами ответа

10. Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки