Вариант №2 Школы Пифагора — ЕГЭ 2027 по математике

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $94^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec a\,(-13;4)$ и $\vec b\,(-6;1)$. Найдите скалярное произведение $\vec a\cdot\vec b$.

Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50. Найдите объём цилиндра.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпала больше раз, чем орёл.

Стрелок стреляет по четырём мишеням. На каждую мишень даётся один выстрел. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

События $A$ и $B$ изображены на диаграмме Эйлера. Точками показаны элементарные события, рядом с ними указаны их вероятности. Найдите вероятность события $A$.

Открыть рисунок к заданию 6 в PDF (страница 2)

Найдите корень уравнения:

Найдите значение выражения:

На рисунке изображён график $y=f\prime(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечены шесть точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)$?

Открыть рисунок к заданию 9 в PDF (страница 2)

Мощность излучения абсолютно чёрного тела определяется законом Стефана — Больцмана: $P=\sigma ST^4$, где $P$ — мощность излучения в ваттах, $\sigma=5{,}7\cdot10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) — постоянная, $S$ — площадь поверхности в квадратных метрах, $T$ — температура в кельвинах. Найдите температуру звезды, если площадь её поверхности равна $\frac1{18}\cdot10^{21}$ м², а мощность излучения равна $4{,}104\cdot10^{27}$ Вт. Ответ дайте в кельвинах.

Моторная лодка прошла против течения реки 187 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2+bx+c$. Найдите $f(-2)$.

Открыть рисунок к заданию 12 в PDF (страница 3)

15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца, где $r$ — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей.

Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}2;-\frac{5\pi}2\right]$.

В прямой призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$, основанием которой является параллелограмм, точки $M$, $K$ и $N$ лежат на рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:2$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 6.

а) Докажите, что $N$ — середина ребра $BC$.

б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 72, а высота равна 2.

Решите неравенство:

Сила тока в цепи переменного тока вычисляется по формуле:

где $U$ — напряжение, $R$ — сопротивление, $L$ — индуктивность, $C$ — ёмкость, $\omega$ — частота тока. Найдите наибольшую возможную силу тока (в амперах), если $U=220$ В, $R=44$ Ом, $L=0{,}2$ Гн и $C=20$ мкФ ($20\cdot10^{-6}$ Ф).

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается отрезка $MN$ в точке $L$.

а) Докажите, что $AB+BC=4AC$.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если $ML=\frac95$, $LN=3$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных корня.

Даны различные натуральные числа, запись которых содержит цифры 1 и 6, либо только одну из этих цифр.

а) Может ли сумма всех чисел быть равной 173?

б) Может ли сумма всех чисел быть равной 109?

в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 1021?