Вариант №3 Школы Пифагора — ЕГЭ 2027 по математике

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=13$, $BC=7$ и $AD=11$. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Даны векторы $\vec a\,(1;2)$, $\vec b\,(-3;6)$ и $\vec c\,(4;-2)$. Найдите длину вектора $\vec a-\vec b+\vec c$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=7$, $AD=3$, $AA_1=4$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $C_1$.

В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос про Александра Второго. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос про Александра Второго.

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

В таблице показано количество билетов и возможные выигрыши беспроигрышной денежной лотереи. Цена билета лотереи равна 50 рублей. Всего билетов выпущено 1000 штук. Участник покупает один случайный билет. На сколько рублей цена билета выше, чем математическое ожидание выигрыша?

Найдите корень уравнения:

Найдите значение выражения:

На рисунке изображён график $y=f\prime(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-9;2)$. В какой точке отрезка $[-8;-4]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

Открыть рисунок к заданию 9 в PDF (страница 2)

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в км/ч²). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1,1 км, приобрести скорость 110 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\frac{k}{x}$. Найдите значение $f(10)$.

Открыть рисунок к заданию 12 в PDF (страница 3)

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.

а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}2\right]$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 2. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$.

а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$.

Решите неравенство:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$, причём $CM=BC$ и $CN=AC$. Отрезки $CP$ и $CQ$ — биссектрисы треугольников $ACB$ и $NCM$ соответственно.

а) Докажите, что $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.

б) Найдите $PQ$, если $BC=3$, а $AC=5$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.

а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?

б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?