Вариант №6 Школы Пифагора — ЕГЭ 2027 по математике

Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$. Найдите скалярное произведение $\vec a\cdot\vec b$.

Открыть рисунок к заданию 2 в PDF (страница 1)

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 57.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Найдите стандартное отклонение случайной величины, имеющей распределение, указанное в таблице.

Найдите корень уравнения:

Найдите значение выражения:

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены восемь точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна?

Открыть рисунок к заданию 9 в PDF (страница 2)

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.

Один мастер может выполнить заказ за 30 часов, а другой — за 15 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=a^x$. Найдите значение $f(3)$.

Открыть рисунок к заданию 12 в PDF (страница 3)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}2;4\pi\right]$.

Точка $M$ — середина ребра $AA_1$ треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит треугольник $ABC$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $B_1$ перпендикулярно прямой $C_1M$.

а) Докажите, что одна из диагоналей грани $ACC_1A_1$ равна одному из рёбер этой грани.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ в отношении $1:3$, считая от вершины $A$, $AC=10$, $AA_1=12$.

Решите неравенство:

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу $\varepsilon=40$ В и внутреннее сопротивление $r=1$ Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:

где $R$ — сопротивление нагрузки (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна $P=I^2R$ (закон Джоуля — Ленца). Найдите наибольшую возможную тепловую мощность $P$, которую может выделять этот источник.

В прямоугольную трапецию $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ и острым углом при вершине $D$ вписана окружность с центром $O$. Прямая $DO$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$, а прямая $CO$ пересекает сторону $AD$ в точке $K$.

а) Докажите, что $\angle AMO=\angle DKO$.

б) Найдите площадь треугольника $AOM$, если $BC=10$ и $AD=15$.

Найдите все значения $a$, при которых уравнение

имеет на отрезке $\left[0;\frac{3\pi}2\right]$ ровно два решения.

Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?