Вариант №5 Школы Пифагора — ЕГЭ 2027 по математике

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=22$, $CD=17$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\vec a+4\vec b$.

Открыть рисунок к заданию 2 в PDF (страница 1)

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $D$, $A_1$, $B$, $C$, $B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=3$, $AD=4$, $AA_1=5$.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Норвегии.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

На диаграмме Эйлера схематически показан случайный опыт $S$, с которым связана случайная величина $X$. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины $X$. Найдите вероятность события $(X=9)$.

Открыть рисунок к заданию 6 в PDF (страница 2)

Найдите корень уравнения:

Найдите значение выражения:

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-7;7)$. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Открыть рисунок к заданию 9 в PDF (страница 2)

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}2$, где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega=50$ град./мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta=4$ град./мин² — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2500^\circ$. Ответ дайте в минутах.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

Открыть рисунок к заданию 12 в PDF (страница 3)

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;

— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 971,8 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?

а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\frac{3\pi}2\right]$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все рёбра равны 7. На его ребре $BB_1$ отмечена точка $K$ так, что $KB=4$. Через точки $K$ и $C_1$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_1$.

а) Докажите, что $A_1P:PB_1=1:3$, где $P$ — точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $A_1B_1$.

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью $\alpha$.

Решите неравенство:

Если к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, подключить источник переменного тока, то амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) будет подчиняться закону

где $U$ — амплитуда напряжения на источнике тока, $\omega$ — частота переменного тока (в с⁻¹), $L$ — индуктивность катушки, $C$ — ёмкость конденсатора, $R$ — сопротивление резистора. При какой частоте $\omega$ амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если $U=180$ В, $L=0{,}027$ Гн, $C=10^{-5}$ Ф и $R=20$ Ом?

В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60^\circ$. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M$.

а) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите $\sin\angle BMC$, если известно, что отрезок $BM$ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение

имеет 2 различных решения.

В каждой клетке квадратной таблицы $6\times6$ стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.

а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?

б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?

в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?