Вариант №4 Школы Пифагора — ЕГЭ 2027 по математике

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $B$ равен $66^\circ$. Найдите угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec a$ и $\vec b$, угол между которыми равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec a\cdot\vec b$, если $|\vec a|=3$, $|\vec b|=5$.

Шар, радиус которого равен $10\sqrt2$, описан около конуса (шар содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр шара совпадает с центром основания конуса. Найдите образующую конуса.

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую и третью игры.

Вероятность того, что масса буханки хлеба меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса буханки больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

Распределение случайной величины $X$ задано таблицей. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$.

Найдите корень уравнения:

Найдите значение выражения:

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Открыть рисунок к заданию 9 в PDF (страница 2)

К источнику с ЭДС $\varepsilon=180$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на нагрузке (в вольтах) даётся формулой $U=\frac{\varepsilon R}{R+r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 170 В? Ответ дайте в омах.

На изготовление 176 деталей первый рабочий затрачивает на 5 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление такого же количества деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

На рисунке изображён график функции $f(x)=k\sqrt{x}$. Найдите $f(2{,}56)$.

Открыть рисунок к заданию 12 в PDF (страница 3)

В июле 2026 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}2;-2\pi\right]$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=3$, $AD=4$ и $AA_1=6$. Через точки $B_1$ и $D$ параллельно прямой $AC$ проведена плоскость, пересекающая ребро $CC_1$ в точке $K$.

а) Докажите, что $K$ — середина $CC_1$.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.

Решите неравенство:

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

где $k=1{,}38\cdot10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана, $\varepsilon$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\varepsilon$, при котором функция плотности $f(\varepsilon)$ принимает наибольшее значение, если $T=300$ К.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.

а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac7{25}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.

а) Может ли их сумма составлять 282?

б) Может ли их сумма составлять 390?

в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?