Задание 4 из 8Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиАвторское

Линия №17 · Высокий уровень

Амплитуда колебаний маятника сейсмографа $A$ зависит от частоты сейсмической волны $ω$ по формуле

A (ω) = \frac{A _{0} ω ^{2}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + γ ω _{0}^{2} ω ^{2}},

где $A_{0} = 5$ мм — амплитуда смещения почвы, $ω_{0} = 12$ рад/с — собственная частота маятника, $γ = 0, 72$ — коэффициент затухания. При какой частоте $ω$ (в рад/с) амплитуда колебаний маятника будет наибольшей?

Источник: Авторское

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Разделите числитель и знаменатель на квадрат частоты. Замена y = ω₀²/ω² превращает выражение под корнем в квадратный трёхчлен. Выделите полный квадрат, найдите минимум знаменателя и вернитесь к частоте.

Ключевая идея: Амплитуда максимальна при минимуме выражения (y − 0,64)² + 0,5904; он достигается при y = 0,64.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Ищем частоту $ω > 0$ . Уберём переменную из числителя и найдём минимум знаменателя с помощью полного квадрата.

Преобразуем формулу амплитуды

При $ω > 0$ разделим числитель и знаменатель на $ω^{2}$ . Под корнем это означает деление на $ω^{4}$ :

A (ω) = \frac{5}{( \frac{ω _{0}^{2}}{ω ^{2}} - 1 ) ^{2} + 0 , 72 \frac{ω _{0}^{2}}{ω ^{2}}} .

Теперь числитель постоянен. Амплитуда будет наибольшей, когда положительный знаменатель станет наименьшим.

Вводим замену и выделяем полный квадрат

Обозначим $y = \frac{ω _{0}^{2}}{ω ^{2}} > 0$ . Преобразуем выражение под корнем:

(y - 1)^{2} + 0, 72 y = y^{2} - 1, 28 y + 1,

y^{2} - 1, 28 y + 1 = (y - 0, 64)^{2} + 0, 5904.

Здесь $0, 5904 = 1 - 0, 6 4^{2}$ .

Находим точку максимума амплитуды

Квадрат $(y - 0, 64)^{2}$ неотрицателен. Поэтому выражение под корнем не меньше $0, 5904$ и принимает это значение при $y = 0, 64$ .

Корень возрастает вместе с подкоренным выражением. Значит, при $y = 0, 64$ знаменатель минимален, а амплитуда максимальна. Это значение $y$ положительно и допустимо.

Возвращаемся к частоте

Подставим $ω_{0} = 12$ в равенство $y = 0, 64$ :

\frac{144}{ω ^{2}} = 0, 64, ω^{2} = 225.

Частота положительна, поэтому $ω = 15$ рад/с. Проверка: $\frac{144}{225} = 0, 64$ . При $ω = 0$ исходная формула даёт нулевую амплитуду, так что это значение не даёт большего результата.

Ответ15 рад/с

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Делению квадратного корня на положительное число соответствует деление подкоренного выражения на квадрат этого числа.
Квадратный трёхчлен можно представить как сумму полного квадрата и постоянной.
После замены переменной нужно вернуться к искомой частоте и выбрать положительный корень.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Считать, что максимум обязательно достигается при собственной частоте 12 рад/с, не исследуя данную формулу.
При делении знаменателя на ω $^{2}$ разделить подкоренное выражение на ω $^{2}$ вместо ω $^{4}$ .
Записать в ответ 0,64 или 225 вместо частоты 15 рад/с.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1В исходной формуле сохранён множитель γ, а не γ $^{2}$ .
2Полный квадрат выделен с постоянной 0,5904.
3Сделана обратная замена и выбрана положительная частота 15 рад/с.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №17

Все задания линии №17 →

Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиНа заводе имеется генератор с ЭДС ε = 50 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер…Задание 2027017 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиАмплитуда вынужденных колебаний корабля при качке выражается формулой A = kθ₀·τ $^{2}$ /√((T $^{2}$ −…Задание 2027018 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиСкорость ферментативной биохимической реакции V зависит от концентрации субстрата x по…Задание 2027173 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиРасход топлива катера (в литрах в час) при скорости v км/ч задаётся формулой Q(v) = 1600 +…Задание 2027175 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиКонцентрация лекарственного препарата в крови пациента через t часов после инъекции задаётся…Задание 2027176 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиЗависимость теплоемкости сложного сплава C (в Дж/(кг·К)) от температуры T (в кельвинах)…Задание 2027177

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №17Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Амплитуда колебаний маятника сейсмографа A зависит от частоты сейсмической волны ω по формуле