Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении

A = k θ_{0} \cdot \frac{τ ^{2}}{( T ^{2} - τ ^{2} ) ^{2} + n τ ^{2} T ^{2}}

где $k = 0, 91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $θ_{0} = 9^{\circ}$ — угол наибольшего волнового склона, $τ$ — период волны в секундах, $T = 14, 7 с$ — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n = 0, 0792$ — коэффициент сопротивления воды.

При каком периоде волны амплитуда будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Источник: ФИПИ ↗

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Положительные постоянные множители не меняют точку максимума. После перехода к квадрату амплитуды и замены $x = \frac{τ ^{2}}{T ^{2}}$ задача сводится к исследованию рациональной функции.

Ключевая идея: найти максимум функции

F (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + ( n - 2 ) x + 1}

, а затем вернуться к периоду по формуле

τ = T x

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Постоянные $k$ и $θ_{0}$ не влияют на положение максимума. Удобная замена $x = \frac{τ ^{2}}{T ^{2}}$ превращает громоздкую формулу в простую рациональную функцию.

Отделяем постоянные множители

Все величины положительны, поэтому максимум амплитуды достигается при том же $τ$ , что и максимум её квадрата. Постоянный множитель $k θ_{0}$ можно не учитывать:

A^{2} (τ) \sim \frac{τ ^{4}}{( T ^{2} - τ ^{2} ) ^{2} + n τ ^{2} T ^{2}}

Знак $\sim$ здесь означает: функции отличаются положительным постоянным множителем и достигают максимума при одном и том же периоде.

Переходим к безразмерной переменной

Положим $x = \frac{τ ^{2}}{T ^{2}}$ , тогда $x > 0$ . Делим числитель и знаменатель на $T^{4}$ :

F (x) = \frac{x ^{2}}{( 1 - x ) ^{2} + n x} = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + ( n - 2 ) x + 1}

Теперь достаточно найти максимум функции $F (x)$ на промежутке $x > 0$ .

Находим критическую точку

Вычисляем производную дроби:

F^{'} (x) = \frac{x ( 2 + ( n - 2 ) x )}{( x ^{2} + ( n - 2 ) x + 1 ) ^{2}}

Знаменатель положителен, а $x > 0$ , поэтому производная равна нулю, когда

2 + (n - 2) x = 0 ⟹ x = \frac{2}{2 - n}

Так как $n = 0, 0792 < 2$ , производная до этой точки положительна, а после неё отрицательна. Следовательно, найденная точка даёт именно максимум.

Возвращаемся к периоду волны

Из определения $x$ получаем

τ = T x = T \frac{2}{2 - n}

Подставляем $T = 14, 7$ и $n = 0, 0792$ :

τ = 14, 7 \frac{2}{2 - 0 , 0792} = 14, 7 \frac{2}{1 , 9208} = 15 с

Ответ15 секунд

Проверка: отношение $\frac{15}{14 , 7}$ в квадрате равно $\frac{2}{1 , 9208}$ , поэтому вычисление выполнено без округления конечного ответа.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Положительную функцию и её квадрат максимизирует одно и то же значение аргумента.
Замена $x = \frac{τ ^{2}}{T ^{2}}$ убирает размерность и упрощает выражение.
Если производная меняет знак с плюса на минус, критическая точка является точкой максимума.