Интенсивность излучения специальной антенны $I$ в зависимости от частоты переменного тока $\omega$ вычисляется по формуле

Подставляем параметры и задаём область поиска

По условию $\alpha =15$, $\beta =4000$. Поэтому

Частота положительна: $\omega >0$. При нулевой частоте исходная формула даёт нулевую интенсивность, тогда как при положительной частоте она больше нуля.

Вычисляем производную дроби

Применяем правило производной частного: производную числителя умножаем на знаменатель и вычитаем произведение числителя на производную знаменателя; результат делим на квадрат знаменателя.

В числителе $30{\omega }^4+120000\omega -45{\omega }^4=15\omega (8000-{\omega }^3)$. Получаем:

Находим максимум и доказываем его

При $\omega >0$ множитель $15\omega$ и знаменатель положительны. Поэтому производная равна нулю, когда

При $0<\omega <20$ производная положительна, а при $\omega >20$ — отрицательна. Интенсивность сначала возрастает, затем убывает. Следовательно, её наибольшее значение достигается при $\omega =20$.

Записываем частоту в нужных единицах

В условии частота $\omega$ выражена в кГц. Поэтому найденное число $20$ означает $20$ кГц. Переводить его в рад/с не нужно.