Задание 7 из 8Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиАвторское

Линия №17 · Высокий уровень

Зависимость теплоемкости сложного сплава $C$ (в Дж/(кг·К)) от температуры $T$ (в кельвинах) моделируется формулой

C (T) = \frac{a T ^{2}}{( T ^{2} + b ) ^{2}},

где $a = 160000$ — константа материала, $b = 900$ . При какой температуре $T$ теплоемкость данного сплава достигает своего максимума?

Источник: Авторское

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Замените квадрат температуры новой переменной. Используйте неравенство (u + 900)² ≥ 3600u, чтобы получить верхнюю границу теплоёмкости, а затем найдите, когда она достигается.

Ключевая идея: Равенство в (u + 900)² ≥ 3600u достигается при u = 900. После замены u = T² нужно найти положительную температуру T.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Температура входит в формулу только в квадрате. Замена $u = T^{2}$ позволит найти максимум через простое неравенство.

Подставляем данные и делаем замену

Температура в кельвинах неотрицательна. Положим $u = T^{2} \geq 0$ . После подстановки параметров получим:

C = \frac{160000 u}{( u + 900 ) ^{2}} .

При $u = 0$ теплоёмкость по этой модели равна нулю. При $u > 0$ она положительна, поэтому максимум ищем при $u > 0$ .

Получаем оценку для знаменателя

Квадрат $(u - 900)^{2}$ неотрицателен. Раскроем его и перенесём слагаемые:

(u + 900)^{2} - 3600 u = (u - 900)^{2} \geq 0.

Отсюда $(u + 900)^{2} \geq 3600 u$ , причём равенство возможно только при $u = 900$ .

Доказываем достижение максимума

При $u > 0$ оценка знаменателя даёт верхнюю границу:

C \leq \frac{160000 u}{3600 u} = \frac{400}{9} .

При $u = 900$ в неравенстве достигается равенство. Значит, это действительно точка максимума, а не только предположение.

Возвращаемся к температуре

Поскольку $u = T^{2}$ , решаем уравнение $T^{2} = 900$ . Из двух корней выбираем неотрицательный: $T = 30$ .

Температура дана в кельвинах, поэтому ответ — 30 К; перевод в градусы Цельсия не требуется.

Ответ30 К

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Замена u = T² упрощает формулу, содержащую только квадрат температуры.
Из неотрицательности квадрата разности следует (u + b)² ≥ 4bu.
Получив верхнюю границу, нужно проверить её достижимость и вернуться к исходной переменной.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Перепутать квадрат суммы (T $^{2}$ + b) $^{2}$ с суммой T $^{4}$ + b $^{2}$ .
Записать 900 вместо температуры, забыв извлечь квадратный корень.
Выбрать отрицательный корень или перевести ответ в градусы Цельсия без требования в условии.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Учтён квадрат всего знаменателя.
2Доказано достижение верхней границы при u = 900.
3После обратной замены получен ответ 30 К.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №17

Все задания линии №17 →

Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиНа заводе имеется генератор с ЭДС ε = 50 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер…Задание 2027017 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиАмплитуда вынужденных колебаний корабля при качке выражается формулой A = kθ₀·τ $^{2}$ /√((T $^{2}$ −…Задание 2027018 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиСкорость ферментативной биохимической реакции V зависит от концентрации субстрата x по…Задание 2027173 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиАмплитуда колебаний маятника сейсмографа A зависит от частоты сейсмической волны ω по…Задание 2027174 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиРасход топлива катера (в литрах в час) при скорости v км/ч задаётся формулой Q(v) = 1600 +…Задание 2027175 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиКонцентрация лекарственного препарата в крови пациента через t часов после инъекции задаётся…Задание 2027176

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №17Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Зависимость теплоемкости сложного сплава C (в Дж/(кг·К)) от температуры T (в кельвинах) моделируется формулой