Задание 1 из 8Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиФИПИ

Линия №17 · Высокий уровень

На заводе имеется генератор с ЭДС $ε = 50 В$ и внутренним сопротивлением $r = 1 Ом$

Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи определяется законом Ома:

I = \frac{ε}{r + R}

Тепловая мощность, выделяемая в нагрузке, рассчитывается по формуле Джоуля — Ленца $P = I^{2} R$ . Какова максимальная тепловая мощность $P$ , которая может быть выделена нагрузкой?

Источник: ФИПИ ↗

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Сначала по закону Ома выражаем силу тока через сопротивление нагрузки, затем подставляем её в формулу мощности. Полученную функцию оцениваем сверху с помощью неравенства $(r + R)^{2} \geq 4 r R$ .

Ключевая идея: максимальная мощность передаётся нагрузке при

R = r

, а её значение равно

P_{m a x} = \frac{ε ^{2}}{4 r}

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Нужно выразить мощность только через сопротивление нагрузки $R$ , а затем найти наибольшее значение полученной функции при $R \geq 0$ .

Выражаем мощность через сопротивление нагрузки

По закону Ома $I = \frac{ε}{r + R}$ . Подставляем эту силу тока в формулу Джоуля — Ленца $P = I^{2} R$ :

P (R) = (\frac{ε}{r + R})^{2} R = \frac{ε ^{2} R}{( r + R ) ^{2}}

После подстановки $ε = 50$ и $r = 1$ получаем $P (R) = \frac{2500 R}{( 1 + R ) ^{2}}$ .

Получаем оценку сверху

При $R = 0$ мощность равна нулю. Для $R > 0$ и $r > 0$ применяем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

r + R \geq 2 r R ⟹ (r + R)^{2} \geq 4 r R

Поэтому

P (R) = \frac{ε ^{2} R}{( r + R ) ^{2}} \leq \frac{ε ^{2} R}{4 r R} = \frac{ε ^{2}}{4 r}

Это и есть верхняя граница мощности. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $R = r$ .

Подставляем данные и проверяем условие равенства

Максимум достигается при согласовании сопротивлений: $R = r = 1 Ом$ . Тогда

P_{m a x} = \frac{ε ^{2}}{4 r} = \frac{5 0 ^{2}}{4 \cdot 1} = 625 Вт

Значение $R = 1$ допустимо, так как сопротивление нагрузки неотрицательно.

Ответ625 Вт

Почему это максимум: мы получили оценку, которую мощность не может превысить, и нашли допустимое значение $R$ , при котором эта оценка достигается.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Закон Ома для полной цепи: $I = \frac{ε}{r + R}$ .
Мощность на нагрузке: $P = I^{2} R$ .
Неравенство $(r + R)^{2} \geq 4 r R$ обращается в равенство при $R = r$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Максимизировать силу тока вместо мощности нагрузки.
Забыть множитель R в формуле P = I $^{2}$ R.
Найти верхнюю оценку, но не проверить, что она действительно достигается.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Сила тока подставлена в формулу мощности.
2Учтено условие R ≥ 0 и найдено значение R = r.
3В ответе указана мощность 625 Вт, а не сопротивление.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №17

Все задания линии №17 →

Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиАмплитуда вынужденных колебаний корабля при качке выражается формулой A = kθ₀·τ $^{2}$ /√((T $^{2}$ −…Задание 2027018 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиСкорость ферментативной биохимической реакции V зависит от концентрации субстрата x по…Задание 2027173 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиАмплитуда колебаний маятника сейсмографа A зависит от частоты сейсмической волны ω по…Задание 2027174 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиРасход топлива катера (в литрах в час) при скорости v км/ч задаётся формулой Q(v) = 1600 +…Задание 2027175 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиКонцентрация лекарственного препарата в крови пациента через t часов после инъекции задаётся…Задание 2027176 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиЗависимость теплоемкости сложного сплава C (в Дж/(кг·К)) от температуры T (в кельвинах)…Задание 2027177

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №17Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На заводе имеется генератор с ЭДС ε=50 В и внутренним сопротивлением r=1 Ом