Расход топлива катера (в литрах в час) при скорости $v$ км/ч задаётся формулой $Q (v) = 1600 + 0, 1 v^{3}$ . Расход топлива на один километр пути вычисляется по формуле $q = \frac{Q ( v )}{v}$ . При какой скорости $v$ (в км/ч) расход топлива на один километр пути будет наименьшим?

Источник: Авторское

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Сначала выразите расход на один километр через скорость: разделите часовой расход на v. Найдите производную полученной функции и проверьте, что она меняет знак с минуса на плюс.

Ключевая идея: Минимизируем расход на километр q(v), учитывая, что скорость движения положительна.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

В задаче требуется наименьший расход на один километр. Поэтому сначала составим функцию $q (v)$ , а затем исследуем её при $v > 0$ .

Выражаем расход на один километр

Катер движется, поэтому $v > 0$ . По условию:

q (v) = \frac{1600 + 0 , 1 v ^{3}}{v} = \frac{1600}{v} + 0, 1 v^{2} .

Эта величина измеряется в литрах на километр: часовой расход делится на число километров, пройденных за час.

Находим производную и её нуль

Производная $\frac{1600}{v}$ равна $- \frac{1600}{v ^{2}}$ , а производная $0, 1 v^{2}$ равна $0, 2 v$ . Поэтому

q^{'} (v) = - \frac{1600}{v ^{2}} + 0, 2 v .

Приравняем производную к нулю и умножим на положительное число $v^{2}$ :

0, 2 v^{3} = 1600, v^{3} = 8000.

Извлекаем кубический корень: $v = 20$ .

Доказываем, что расход наименьший

Запишем производную в виде

q^{'} (v) = \frac{0 , 2 ( v ^{3} - 8000 )}{v ^{2}} .

При $0 < v < 20$ производная отрицательна, поэтому расход убывает. При $v > 20$ производная положительна, поэтому расход возрастает. Следовательно, при $v = 20$ достигается минимум на всём промежутке $v > 0$ .

Записываем скорость

Найденное значение $v = 20$ допустимо. Вопрос задан о скорости катера, поэтому ответ выражаем в км/ч.

Ответ20 км/ч

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Расход топлива на километр равен часовому расходу, делённому на скорость.
Для поиска минимума функции можно использовать её производную.
Смена знака производной с минуса на плюс подтверждает минимум.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Искать минимум часового расхода Q(v), хотя требуется расход на километр q(v).
Забыть минус в производной 1600/v.
Найти нуль производной, но не проверить, что это точка минимума.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Исследуется функция q(v) = Q(v)/v при v > 0.
2Из v $^{3}$ = 8000 получено v = 20 и проверены знаки производной.
3Ответ записан в км/ч.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №17

Все задания линии №17 →

Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиНа заводе имеется генератор с ЭДС ε = 50 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер…Задание 2027017 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиАмплитуда вынужденных колебаний корабля при качке выражается формулой A = kθ₀·τ $^{2}$ /√((T $^{2}$ −…Задание 2027018 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиСкорость ферментативной биохимической реакции V зависит от концентрации субстрата x по…Задание 2027173 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиАмплитуда колебаний маятника сейсмографа A зависит от частоты сейсмической волны ω по…Задание 2027174 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиКонцентрация лекарственного препарата в крови пациента через t часов после инъекции задаётся…Задание 2027176 Моделирование реальных ситуаций и текстовые задачиЗависимость теплоемкости сложного сплава C (в Дж/(кг·К)) от температуры T (в кельвинах)…Задание 2027177

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №17Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена