Задание 2 из 10Математическое ожидание

Линия №6 · Базовый уровень

Организаторы лотереи выпустили 5000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Распределение выигрышей среди лотерейных билетов
Выигрыш (в рублях)	200	1000	5000
Число выигрышных билетов	750	40	2

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Источник: Авторское

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 40

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В таблице три размера выигрыша. Для каждого из них число выигрышных билетов нужно разделить на 5000, а затем умножить вероятность на соответствующий выигрыш.

Ключевая идея: получить три вклада 200·750/5000, 1000·40/5000 и 5000·2/5000, а затем сложить их. Для каждого столбца используется вклад

\frac{x_{i} \cdot n_{i}}{5000}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Для этой таблицы достаточно трёх слагаемых. Самый частый выигрыш 200 рублей даёт основной вклад — 30 рублей из итоговых 40.

Записываем формулу именно для 5000 билетов

Для каждого возможного выигрыша умножаем его величину $x_{i}$ на вероятность $p_{i}$ и складываем результаты:

E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}

В этой задаче вероятность конкретного выигрыша равна $p_{i} = \frac{n_{i}}{5000}$ .

Проверяем число билетов без выигрыша

Выигрышных билетов: $750 + 40 + 2 = 792$ . Значит, без выигрыша осталось $5000 - 792 = 4208$ билетов.

Их выигрыш равен нулю. Они остаются в общем количестве билетов, но добавляют к математическому ожиданию ровно 0 рублей.

Находим вклад каждого столбца таблицы

Все три вклада целые: 30, 8 и 2 рубля, поэтому округление не требуется.

Расчёт слагаемых математического ожидания
Выигрыш $x_{i}$	Билетов $n_{i}$	Вероятность $p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
200	750	$\frac{750}{5000}$	30 руб.
1000	40	$\frac{40}{5000}$	8 руб.
5000	2	$\frac{2}{5000}$	2 руб.

Складываем вклады и проверяем ответ

E (X) = \frac{200 \cdot 750}{5000} + \frac{1000 \cdot 40}{5000} + \frac{5000 \cdot 2}{5000}

E (X) = 30 + 8 + 2 = 40 рублей

Проверка через фонд: (200·750 + 1000·40 + 5000·2) / 5000 = 200 000 / 5000 = 40.

Ответ40 рублей

Важно: в условии спрашивается выигрыш на один билет. Стоимость билета вычитать не нужно, потому что чистая прибыль в задаче не требуется.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула математического ожидания: $E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}$ ; для этой таблицы $p_{i} = \frac{n_{i}}{5000}$ .
В этой задаче общее число равновозможных билетов N = 5000.
Число выигрышных билетов равно 792, но математическое ожидание считают на все 5000 билетов.
Фонд выигрышей равен 200 000 рублей, поэтому средний выигрыш можно проверить делением 200 000 на 5000.
Билеты без выигрыша учитываются среди всех 5000 билетов, но их вклад $0 \cdot p = 0$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Разделить 200 000 рублей на 792 выигрышных билета вместо всех 5000 билетов.
Пропустить два билета с выигрышем 5000 рублей: их вклад равен 2 рублям на билет.
Сложить 200, 1000 и 5000 без учёта количества билетов каждого вида.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Вероятности имеют общий знаменатель 5000.
2В расчёте присутствуют 750, 40 и 2 выигрышных билета.
3Вклады 30, 8 и 2 дают итог 40 рублей.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №6

Все задания линии №6 →

Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027006 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 20 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027603 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 8000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027604 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 12 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027605 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 15 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027606 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 25 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027607

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №6Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена