Задание 1 из 10Математическое ожидание

Линия №6 · Базовый уровень

Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Распределение выигрышей среди лотерейных билетов
Выигрыш, руб.	100	1 000	5 000	10 000	50 000
Число билетов	500	100	50	10	1

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Источник: ФИПИ ↗

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 55

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задаче пять возможных ненулевых выигрышей. Вероятность каждого выигрыша равна числу соответствующих билетов, делённому на все 10 000 билетов, поэтому средний выигрыш находится как сумма пяти взвешенных значений.

Ключевая идея: для каждого из пяти выигрышей вычислить вклад xᵢ·nᵢ/10 000 и сложить полученные 5, 10, 25, 10 и 5 рублей. Для каждого столбца используется вклад

\frac{x_{i} \cdot n_{i}}{10 000}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Здесь удобно сначала найти вклад каждого из пяти видов выигрыша. Так сразу видно, почему даже один билет на 50 000 рублей добавляет к среднему выигрышу 5 рублей.

Записываем формулу именно для 10 000 билетов

Для каждого возможного выигрыша умножаем его величину $x_{i}$ на вероятность $p_{i}$ и складываем результаты:

E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}

В этой задаче вероятность конкретного выигрыша равна $p_{i} = \frac{n_{i}}{10 000}$ .

Проверяем число билетов без выигрыша

Выигрышных билетов: $500 + 100 + 50 + 10 + 1 = 661$ . Значит, без выигрыша осталось $10 000 - 661 = 9 339$ билетов.

Их выигрыш равен нулю. Они остаются в общем количестве билетов, но добавляют к математическому ожиданию ровно 0 рублей.

Находим вклад каждого столбца таблицы

Пять вкладов получаются целыми числами, поэтому их можно сложить без промежуточного округления.

Расчёт слагаемых математического ожидания
Выигрыш $x_{i}$	Билетов $n_{i}$	Вероятность $p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
100	500	$\frac{500}{10 000}$	5 руб.
1 000	100	$\frac{100}{10 000}$	10 руб.
5 000	50	$\frac{50}{10 000}$	25 руб.
10 000	10	$\frac{10}{10 000}$	10 руб.
50 000	1	$\frac{1}{10 000}$	5 руб.

Складываем вклады и проверяем ответ

E (X) = \frac{100 \cdot 500}{10 000} + \frac{1 000 \cdot 100}{10 000} + \frac{5 000 \cdot 50}{10 000} + \frac{10 000 \cdot 10}{10 000} + \frac{50 000 \cdot 1}{10 000}

E (X) = 5 + 10 + 25 + 10 + 5 = 55 рублей

Проверка через общий фонд: 550 000 / 10 000 = 55 рублей на один билет.

Ответ55 рублей

Важно: в условии спрашивается выигрыш на один билет. Стоимость билета вычитать не нужно, потому что чистая прибыль в задаче не требуется.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула математического ожидания: $E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}$ ; для этой таблицы $p_{i} = \frac{n_{i}}{10 000}$ .
В этой задаче N = 10 000, поэтому знаменатель каждой вероятности равен 10 000.
Выигрышных билетов 661, а остальные 9339 билетов имеют нулевой выигрыш.
Общий фонд выигрышей равен 550 000 рублей; деление фонда на 10 000 билетов даёт тот же результат.
Билеты без выигрыша учитываются среди всех 10 000 билетов, но их вклад $0 \cdot p = 0$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Делить фонд только на 661 выигрышный билет вместо всех 10 000 билетов.
Не учесть редкий выигрыш 50 000 рублей по одному билету.
Вычесть стоимость билета, хотя требуется выигрыш, а не чистая прибыль.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1В знаменателе каждой вероятности стоит 10 000.
2Учтены все пять размеров выигрыша и один билет с выигрышем 50 000 рублей.
3Сумма вкладов 5 + 10 + 25 + 10 + 5 равна 55 рублям.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №6Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена