Задание 5 из 10Математическое ожидание

Линия №6 · Базовый уровень

Организаторы лотереи выпустили 12 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Распределение выигрышей среди лотерейных билетов
Выигрыш (в рублях)	50	300	1500	2000
Число выигрышных билетов	2000	600	80	10

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Источник: Авторское

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 35

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Два отдельных вклада получаются дробными. Их важно оставить точными как 25/3 и 5/3: вместе они дают 10 рублей, после чего итог находится без округления.

Ключевая идея: не округлять промежуточные дроби 25/3 и 5/3, а объединить их и получить точную сумму 35 рублей. Для каждого столбца используется вклад

\frac{x_{i} \cdot n_{i}}{12 000}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Главная особенность этого варианта — дробные промежуточные вклады. Сохраняем обыкновенные дроби, чтобы итог остался точным.

Записываем формулу именно для 12 000 билетов

Для каждого возможного выигрыша умножаем его величину $x_{i}$ на вероятность $p_{i}$ и складываем результаты:

E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}

В этой задаче вероятность конкретного выигрыша равна $p_{i} = \frac{n_{i}}{12 000}$ .

Проверяем число билетов без выигрыша

Выигрышных билетов: $2000 + 600 + 80 + 10 = 2690$ . Значит, без выигрыша осталось $12 000 - 2690 = 9310$ билетов.

Их выигрыш равен нулю. Они остаются в общем количестве билетов, но добавляют к математическому ожиданию ровно 0 рублей.

Находим вклад каждого столбца таблицы

Первый и четвёртый вклады вместе равны (25 + 5)/3 = 10 рублей.

Расчёт слагаемых математического ожидания
Выигрыш $x_{i}$	Билетов $n_{i}$	Вероятность $p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
50	2000	$\frac{2000}{12 000}$	25/3 ≈ 8,33 руб.
300	600	$\frac{600}{12 000}$	15 руб.
1500	80	$\frac{80}{12 000}$	10 руб.
2000	10	$\frac{10}{12 000}$	5/3 ≈ 1,67 руб.

Складываем вклады и проверяем ответ

E (X) = \frac{50 \cdot 2000}{12 000} + \frac{300 \cdot 600}{12 000} + \frac{1500 \cdot 80}{12 000} + \frac{2000 \cdot 10}{12 000}

E (X) = \frac{25}{3} + 15 + 10 + \frac{5}{3} = 35 рублей

После объединения дробей получаем 10 + 15 + 10 = 35 рублей; фонд 420 000 рублей подтверждает результат.

Ответ35 рублей

Важно: в условии спрашивается выигрыш на один билет. Стоимость билета вычитать не нужно, потому что чистая прибыль в задаче не требуется.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула математического ожидания: $E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}$ ; для этой таблицы $p_{i} = \frac{n_{i}}{12 000}$ .
При N = 12 000 некоторые вклады не обязаны быть целыми числами.
Дроби 25/3 и 5/3 следует складывать точно: 25/3 + 5/3 = 10.
Фонд выигрышей 420 000 рублей даёт быструю проверку 420 000 / 12 000 = 35.
Билеты без выигрыша учитываются среди всех 12 000 билетов, но их вклад $0 \cdot p = 0$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Округлить $\frac{25}{3}$ до 8 и $\frac{5}{3}$ до 2, изменив структуру точного расчёта.
Перепутать 1500 рублей выигрыша и 2000 выигрышных билетов из другого столбца.
Делить на 2690 выигрышных билетов вместо всех 12 000.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1В расчёте четыре слагаемых с общим знаменателем 12 000.
2Дробные вклады $\frac{25}{3}$ и $\frac{5}{3}$ объединены до округления.
3Общий фонд 420 000 рублей подтверждает ответ 35.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №6

Все задания линии №6 →

Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027006 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 5000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027602 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 20 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027603 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 8000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027604 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 15 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027606 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 25 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027607

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №6Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена