Задание 3 из 10Математическое ожидание

Линия №6 · Базовый уровень

Организаторы лотереи выпустили 20 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Распределение выигрышей среди лотерейных билетов
Выигрыш (в рублях)	50	200	1000	10 000
Число выигрышных билетов	2000	500	90	1

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Источник: Авторское

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 15

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Здесь два частых небольших выигрыша дают по 5 рублей среднего вклада, а выигрыши 1000 и 10 000 рублей добавляют ещё 4,5 и 0,5 рубля.

Ключевая идея: не потерять единственный билет на 10 000 рублей и сложить четыре точных вклада: 5, 5, 4,5 и 0,5 рубля. Для каждого столбца используется вклад

\frac{x_{i} \cdot n_{i}}{20 000}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

В этом варианте два вклада дробные, но конечная сумма целая. Записываем 4,5 и 0,5 точно и складываем их только в конце.

Записываем формулу именно для 20 000 билетов

Для каждого возможного выигрыша умножаем его величину $x_{i}$ на вероятность $p_{i}$ и складываем результаты:

E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}

В этой задаче вероятность конкретного выигрыша равна $p_{i} = \frac{n_{i}}{20 000}$ .

Проверяем число билетов без выигрыша

Выигрышных билетов: $2000 + 500 + 90 + 1 = 2591$ . Значит, без выигрыша осталось $20 000 - 2591 = 17 409$ билетов.

Их выигрыш равен нулю. Они остаются в общем количестве билетов, но добавляют к математическому ожиданию ровно 0 рублей.

Находим вклад каждого столбца таблицы

Вклад выигрыша 10 000 рублей невелик, потому что такой билет всего один из 20 000.

Расчёт слагаемых математического ожидания
Выигрыш $x_{i}$	Билетов $n_{i}$	Вероятность $p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
50	2000	$\frac{2000}{20 000}$	5 руб.
200	500	$\frac{500}{20 000}$	5 руб.
1000	90	$\frac{90}{20 000}$	4,5 руб.
10 000	1	$\frac{1}{20 000}$	0,5 руб.

Складываем вклады и проверяем ответ

E (X) = \frac{50 \cdot 2000}{20 000} + \frac{200 \cdot 500}{20 000} + \frac{1000 \cdot 90}{20 000} + \frac{10 000 \cdot 1}{20 000}

E (X) = 5 + 5 + 4,5 + 0,5 = 15 рублей

Проверка через фонд: 300 000 рублей делим на 20 000 билетов и получаем 15 рублей.

Ответ15 рублей

Важно: в условии спрашивается выигрыш на один билет. Стоимость билета вычитать не нужно, потому что чистая прибыль в задаче не требуется.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула математического ожидания: $E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}$ ; для этой таблицы $p_{i} = \frac{n_{i}}{20 000}$ .
Все вероятности в этой задаче имеют знаменатель 20 000.
2591 билет является выигрышным, а 17 409 билетов дают значение случайной величины X = 0.
Общий фонд 300 000 рублей позволяет проверить ответ: 300 000 / 20 000 = 15.
Билеты без выигрыша учитываются среди всех 20 000 билетов, но их вклад $0 \cdot p = 0$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Разделить фонд на 2591 вместо 20 000 и получить средний выигрыш только среди выигрышных билетов.
Считать вклад единственного билета на 10 000 рублей равным 10 000, а не 0,5 рубля на один билет.
Округлить 4,5 и 0,5 до сложения и исказить точный ответ.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Учтены все четыре столбца таблицы, включая один билет на 10 000 рублей.
2Каждое произведение разделено на 20 000.
3Сумма 5 + 5 + 4,5 + 0,5 равна 15.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №6

Все задания линии №6 →

Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027006 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 5000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027602 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 8000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027604 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 12 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027605 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 15 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027606 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 25 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027607

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №6Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена