Организаторы лотереи выпустили 4000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Распределение выигрышей среди лотерейных билетов
Выигрыш (в рублях)	50	200	2000
Число выигрышных билетов	1200	150	65

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Источник: Авторское

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 55

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Крупный выигрыш 2000 рублей встречается 65 раз и даёт самый большой вклад — 32,5 рубля. Остальные два вклада равны 15 и 7,5 рубля.

Ключевая идея: аккуратно сложить десятичные вклады 7,5 и 32,5 с вкладом 15 рублей и получить точный целый ответ. Для каждого столбца используется вклад

\frac{x_{i} \cdot n_{i}}{4000}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Здесь наибольший вклад создаёт самый крупный выигрыш: 65 билетов по 2000 рублей дают 130 000 рублей общего фонда.

Записываем формулу именно для 4000 билетов

Для каждого возможного выигрыша умножаем его величину $x_{i}$ на вероятность $p_{i}$ и складываем результаты:

E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}

В этой задаче вероятность конкретного выигрыша равна $p_{i} = \frac{n_{i}}{4000}$ .

Проверяем число билетов без выигрыша

Выигрышных билетов: $1200 + 150 + 65 = 1415$ . Значит, без выигрыша осталось $4000 - 1415 = 2585$ билетов.

Их выигрыш равен нулю. Они остаются в общем количестве билетов, но добавляют к математическому ожиданию ровно 0 рублей.

Находим вклад каждого столбца таблицы

Два десятичных вклада удобно сложить первыми: 7,5 + 32,5 = 40 рублей.

Расчёт слагаемых математического ожидания
Выигрыш $x_{i}$	Билетов $n_{i}$	Вероятность $p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
50	1200	$\frac{1200}{4000}$	15 руб.
200	150	$\frac{150}{4000}$	7,5 руб.
2000	65	$\frac{65}{4000}$	32,5 руб.

Складываем вклады и проверяем ответ

E (X) = \frac{50 \cdot 1200}{4000} + \frac{200 \cdot 150}{4000} + \frac{2000 \cdot 65}{4000}

E (X) = 15 + 7,5 + 32,5 = 55 рублей

Затем 40 + 15 = 55 рублей; проверка 220 000 / 4000 даёт тот же ответ.

Ответ55 рублей

Важно: в условии спрашивается выигрыш на один билет. Стоимость билета вычитать не нужно, потому что чистая прибыль в задаче не требуется.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула математического ожидания: $E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}$ ; для этой таблицы $p_{i} = \frac{n_{i}}{4000}$ .
Все вероятности считаются относительно 4000 выпущенных билетов.
Вклад выигрыша 2000 рублей равен 32,5 рубля, потому что 2000·65/4000 = 32,5.
Общий фонд 220 000 рублей подтверждает ответ: 220 000 / 4000 = 55.
Билеты без выигрыша учитываются среди всех 4000 билетов, но их вклад $0 \cdot p = 0$ .