Задание 4 из 10Математическое ожидание

Линия №6 · Базовый уровень

Организаторы лотереи выпустили 8000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Распределение выигрышей среди лотерейных билетов
Выигрыш (в рублях)	100	500	2000
Число выигрышных билетов	2000	400	40

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Источник: Авторское

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 60

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Первые два вида выигрыша имеют разные размеры и количества билетов, но дают одинаковый вклад по 25 рублей. Третий вид добавляет ещё 10 рублей.

Ключевая идея: сравнить три взвешенных вклада: 100·2000/8000, 500·400/8000 и 2000·40/8000. Для каждого столбца используется вклад

\frac{x_{i} \cdot n_{i}}{8000}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Эта задача хорошо показывает роль частоты: выигрыш 100 рублей встречается в пять раз чаще выигрыша 500 рублей, поэтому их средние вклады совпадают.

Записываем формулу именно для 8000 билетов

Для каждого возможного выигрыша умножаем его величину $x_{i}$ на вероятность $p_{i}$ и складываем результаты:

E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}

В этой задаче вероятность конкретного выигрыша равна $p_{i} = \frac{n_{i}}{8000}$ .

Проверяем число билетов без выигрыша

Выигрышных билетов: $2000 + 400 + 40 = 2440$ . Значит, без выигрыша осталось $8000 - 2440 = 5560$ билетов.

Их выигрыш равен нулю. Они остаются в общем количестве билетов, но добавляют к математическому ожиданию ровно 0 рублей.

Находим вклад каждого столбца таблицы

Одинаковые вклады 25 рублей — полезная внутренняя проверка произведений 100·2000 и 500·400.

Расчёт слагаемых математического ожидания
Выигрыш $x_{i}$	Билетов $n_{i}$	Вероятность $p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
100	2000	$\frac{2000}{8000}$	25 руб.
500	400	$\frac{400}{8000}$	25 руб.
2000	40	$\frac{40}{8000}$	10 руб.

Складываем вклады и проверяем ответ

E (X) = \frac{100 \cdot 2000}{8000} + \frac{500 \cdot 400}{8000} + \frac{2000 \cdot 40}{8000}

E (X) = 25 + 25 + 10 = 60 рублей

Общий фонд 480 000 рублей; на один из 8000 билетов приходится 60 рублей.

Ответ60 рублей

Важно: в условии спрашивается выигрыш на один билет. Стоимость билета вычитать не нужно, потому что чистая прибыль в задаче не требуется.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула математического ожидания: $E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}$ ; для этой таблицы $p_{i} = \frac{n_{i}}{8000}$ .
В знаменателе каждого слагаемого стоит общее число 8000, а не 2440.
Выигрыши 100 и 500 рублей дают одинаковый вклад по 25 рублей из-за разного количества билетов.
Фонд выигрышей равен 480 000 рублей, поэтому 480 000 / 8000 = 60.
Билеты без выигрыша учитываются среди всех 8000 билетов, но их вклад $0 \cdot p = 0$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Считать, что больший выигрыш всегда даёт больший вклад, не учитывая количество билетов.
Заменить число 8000 числом 2440 в знаменателе вероятностей.
Принять 2000 из верхней строки за количество билетов, хотя это размер третьего выигрыша.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Строки таблицы прочитаны верно: 100 рублей — 2000 билетов, 500 — 400, 2000 — 40.
2Получены вклады 25, 25 и 10 рублей.
3Финальная сумма равна 60 рублям.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №6

Все задания линии №6 →

Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027006 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 5000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027602 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 20 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027603 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 12 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027605 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 15 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027606 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 25 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027607

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №6Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена