Задание 6 из 10Математическое ожидание

Линия №6 · Базовый уровень

Организаторы лотереи выпустили 15 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Распределение выигрышей среди лотерейных билетов
Выигрыш (в рублях)	100	500	5000
Число выигрышных билетов	4500	300	30

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Источник: Авторское

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 50

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Частый выигрыш 100 рублей создаёт вклад 30 рублей. Два более редких выигрыша — 500 и 5000 рублей — дают одинаковые вклады по 10 рублей.

Ключевая идея: вычислить три вклада с общим знаменателем 15 000 и заметить равенство вкладов 500·300 и 5000·30. Для каждого столбца используется вклад

\frac{x_{i} \cdot n_{i}}{15 000}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Здесь полезно сравнить произведения «выигрыш × число билетов»: 500·300 и 5000·30 совпадают, значит совпадут и их вклады.

Записываем формулу именно для 15 000 билетов

Для каждого возможного выигрыша умножаем его величину $x_{i}$ на вероятность $p_{i}$ и складываем результаты:

E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}

В этой задаче вероятность конкретного выигрыша равна $p_{i} = \frac{n_{i}}{15 000}$ .

Проверяем число билетов без выигрыша

Выигрышных билетов: $4500 + 300 + 30 = 4830$ . Значит, без выигрыша осталось $15 000 - 4830 = 10 170$ билетов.

Их выигрыш равен нулю. Они остаются в общем количестве билетов, но добавляют к математическому ожиданию ровно 0 рублей.

Находим вклад каждого столбца таблицы

Два редких вида выигрыша вместе добавляют 20 рублей к среднему выигрышу.

Расчёт слагаемых математического ожидания
Выигрыш $x_{i}$	Билетов $n_{i}$	Вероятность $p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
100	4500	$\frac{4500}{15 000}$	30 руб.
500	300	$\frac{300}{15 000}$	10 руб.
5000	30	$\frac{30}{15 000}$	10 руб.

Складываем вклады и проверяем ответ

E (X) = \frac{100 \cdot 4500}{15 000} + \frac{500 \cdot 300}{15 000} + \frac{5000 \cdot 30}{15 000}

E (X) = 30 + 10 + 10 = 50 рублей

Общий фонд 750 000 рублей, поэтому на каждый из 15 000 билетов приходится в среднем 50 рублей.

Ответ50 рублей

Важно: в условии спрашивается выигрыш на один билет. Стоимость билета вычитать не нужно, потому что чистая прибыль в задаче не требуется.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула математического ожидания: $E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}$ ; для этой таблицы $p_{i} = \frac{n_{i}}{15 000}$ .
Общее число билетов N = 15 000 остаётся знаменателем для всех трёх вероятностей.
Произведения 500·300 и 5000·30 одинаковы, поэтому оба вклада равны 10 рублям.
Фонд выигрышей составляет 750 000 рублей; 750 000 / 15 000 = 50.
Билеты без выигрыша учитываются среди всех 15 000 билетов, но их вклад $0 \cdot p = 0$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Принять 4830 за знаменатель, хотя это только число выигрышных билетов.
Не заметить ноль в числе 5000 и посчитать третий вклад в десять раз меньше.
Считать одинаковыми вероятности для 300 и 30 билетов из-за одинакового итогового вклада.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Числа 4500, 300 и 30 сопоставлены с выигрышами 100, 500 и 5000 рублей.
2Второй и третий вклады действительно равны по 10 рублей.
330 + 10 + 10 = 50 рублей.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №6

Все задания линии №6 →

Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027006 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 5000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027602 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 20 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027603 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 8000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027604 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 12 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027605 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 25 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027607

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №6Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена