Организаторы лотереи выпустили 50 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Распределение выигрышей среди лотерейных билетов
Выигрыш (в рублях)	20	100	500	10 000
Число выигрышных билетов	20 000	5000	100	5

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Источник: Авторское

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 20

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Два редких выигрыша 500 и 10 000 рублей дают одинаковый вклад по 1 рублю. Вместе с вкладами 8 и 10 рублей это составляет 20 рублей.

Ключевая идея: заметить равенство фондов 500·100 и 10 000·5 и учесть оба одинаковых вклада по 1 рублю. Для каждого столбца используется вклад

\frac{x_{i} \cdot n_{i}}{50 000}

Пошаговый разбор

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Несмотря на выигрыш 10 000 рублей, его вклад равен всего 1 рублю, потому что таких билетов только пять из 50 000.

Для каждого возможного выигрыша умножаем его величину $x_{i}$ на вероятность $p_{i}$ и складываем результаты:

E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}

В этой задаче вероятность конкретного выигрыша равна $p_{i} = \frac{n_{i}}{50 000}$ .

Выигрышных билетов: $20 000 + 5000 + 100 + 5 = 25 105$ . Значит, без выигрыша осталось $50 000 - 25 105 = 24 895$ билетов.

Их выигрыш равен нулю. Они остаются в общем количестве билетов, но добавляют к математическому ожиданию ровно 0 рублей.

Равенство двух редких вкладов служит удобной проверкой: 500·100 = 10 000·5 = 50 000.

Расчёт слагаемых математического ожидания
Выигрыш $x_{i}$	Билетов $n_{i}$	Вероятность $p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
20	20 000	$\frac{20 000}{50 000}$	8 руб.
100	5000	$\frac{5000}{50 000}$	10 руб.
500	100	$\frac{100}{50 000}$	1 руб.
10 000	5	$\frac{5}{50 000}$	1 руб.

E (X) = \frac{20 \cdot 20 000}{50 000} + \frac{100 \cdot 5000}{50 000} + \frac{500 \cdot 100}{50 000} + \frac{10 000 \cdot 5}{50 000}

E (X) = 8 + 10 + 1 + 1 = 20 рублей

Суммарно выплачивается 1 000 000 рублей; деление на 50 000 билетов даёт 20 рублей.

Ответ20 рублей

Важно: в условии спрашивается выигрыш на один билет. Стоимость билета вычитать не нужно, потому что чистая прибыль в задаче не требуется.

Теория

Правила и свойства для этого типа задач

Формула математического ожидания: $E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}$ ; для этой таблицы $p_{i} = \frac{n_{i}}{50 000}$ .
В знаменателе каждой вероятности стоит 50 000 — полное число билетов.
Произведения 500·100 и 10 000·5 равны 50 000, поэтому каждый из этих видов добавляет по 1 рублю.
Общий фонд выигрышей равен ровно 1 000 000 рублей; 1 000 000 / 50 000 = 20.
Билеты без выигрыша учитываются среди всех 50 000 билетов, но их вклад $0 \cdot p = 0$ .