Задание 7 из 10Математическое ожидание

Линия №6 · Базовый уровень

Организаторы лотереи выпустили 25 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Распределение выигрышей среди лотерейных билетов
Выигрыш (в рублях)	50	200	1000	5000
Число выигрышных билетов	10 000	1000	40	2

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Источник: Авторское

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 30

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Основную часть ожидания даёт частый выигрыш 50 рублей. Редкие выигрыши 1000 и 5000 рублей дают дробные вклады 1,6 и 0,4 рубля, которые вместе равны 2.

Ключевая идея: сохранить десятичные вклады 1,6 и 0,4 без округления и сложить их с 20 и 8 рублями. Для каждого столбца используется вклад

\frac{x_{i} \cdot n_{i}}{25 000}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Редкие крупные выигрыши здесь дают всего 2 рубля из итоговых 30. Это хороший пример того, что важны одновременно сумма выигрыша и его вероятность.

Записываем формулу именно для 25 000 билетов

Для каждого возможного выигрыша умножаем его величину $x_{i}$ на вероятность $p_{i}$ и складываем результаты:

E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}

В этой задаче вероятность конкретного выигрыша равна $p_{i} = \frac{n_{i}}{25 000}$ .

Проверяем число билетов без выигрыша

Выигрышных билетов: $10 000 + 1000 + 40 + 2 = 11 042$ . Значит, без выигрыша осталось $25 000 - 11 042 = 13 958$ билетов.

Их выигрыш равен нулю. Они остаются в общем количестве билетов, но добавляют к математическому ожиданию ровно 0 рублей.

Находим вклад каждого столбца таблицы

Слагаемые 1,6 и 0,4 удобно объединить: вместе они дают ровно 2 рубля.

Расчёт слагаемых математического ожидания
Выигрыш $x_{i}$	Билетов $n_{i}$	Вероятность $p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
50	10 000	$\frac{10 000}{25 000}$	20 руб.
200	1000	$\frac{1000}{25 000}$	8 руб.
1000	40	$\frac{40}{25 000}$	1,6 руб.
5000	2	$\frac{2}{25 000}$	0,4 руб.

Складываем вклады и проверяем ответ

E (X) = \frac{50 \cdot 10 000}{25 000} + \frac{200 \cdot 1000}{25 000} + \frac{1000 \cdot 40}{25 000} + \frac{5000 \cdot 2}{25 000}

E (X) = 20 + 8 + 1,6 + 0,4 = 30 рублей

Фонд 750 000 рублей делим на 25 000 билетов и подтверждаем ответ 30 рублей.

Ответ30 рублей

Важно: в условии спрашивается выигрыш на один билет. Стоимость билета вычитать не нужно, потому что чистая прибыль в задаче не требуется.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула математического ожидания: $E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}$ ; для этой таблицы $p_{i} = \frac{n_{i}}{25 000}$ .
В этой задаче знаменатель каждой вероятности равен 25 000.
Вклады двух самых редких выигрышей равны 1,6 и 0,4 рубля и вместе дают 2 рубля.
Фонд выигрышей равен 750 000 рублей; отношение 750 000 / 25 000 равно 30.
Билеты без выигрыша учитываются среди всех 25 000 билетов, но их вклад $0 \cdot p = 0$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Разделить фонд на 11 042 выигрышных билета, а не на все 25 000.
Прочитать 10 000 как размер выигрыша, хотя это число билетов с выигрышем 50 рублей.
Потерять десятичную запятую и превратить вклад 0,4 рубля в 4 рубля.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Выигрыш 50 рублей умножен на 10 000 билетов.
2Два дробных вклада записаны как 1,6 и 0,4.
320 + 8 + 1,6 + 0,4 = 30.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №6

Все задания линии №6 →

Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027006 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 5000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027602 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 20 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027603 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 8000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027604 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 12 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027605 Математическое ожиданиеОрганизаторы лотереи выпустили 15 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом…Задание 2027606

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №6Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена