Организаторы лотереи выпустили 6000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Распределение выигрышей среди лотерейных билетов
Выигрыш (в рублях)	100	500	3000
Число выигрышных билетов	1500	180	10

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Источник: Авторское

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 45

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Три столбца дают вклады 25, 15 и 5 рублей. Их можно получить напрямую по формуле или сначала найти общий фонд 270 000 рублей.

Ключевая идея: правильно сопоставить выигрыши 100, 500 и 3000 рублей с количествами 1500, 180 и 10 билетов. Для каждого столбца используется вклад

\frac{x_{i} \cdot n_{i}}{6000}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Все промежуточные значения целые. После правильного сопоставления строк таблицы расчёт сводится к трём коротким делениям.

Записываем формулу именно для 6000 билетов

Для каждого возможного выигрыша умножаем его величину $x_{i}$ на вероятность $p_{i}$ и складываем результаты:

E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}

В этой задаче вероятность конкретного выигрыша равна $p_{i} = \frac{n_{i}}{6000}$ .

Проверяем число билетов без выигрыша

Выигрышных билетов: $1500 + 180 + 10 = 1690$ . Значит, без выигрыша осталось $6000 - 1690 = 4310$ билетов.

Их выигрыш равен нулю. Они остаются в общем количестве билетов, но добавляют к математическому ожиданию ровно 0 рублей.

Находим вклад каждого столбца таблицы

Самый редкий выигрыш 3000 рублей встречается 10 раз и добавляет 5 рублей к среднему значению.

Расчёт слагаемых математического ожидания
Выигрыш $x_{i}$	Билетов $n_{i}$	Вероятность $p_{i}$	$x_{i} \cdot p_{i}$
100	1500	$\frac{1500}{6000}$	25 руб.
500	180	$\frac{180}{6000}$	15 руб.
3000	10	$\frac{10}{6000}$	5 руб.

Складываем вклады и проверяем ответ

E (X) = \frac{100 \cdot 1500}{6000} + \frac{500 \cdot 180}{6000} + \frac{3000 \cdot 10}{6000}

E (X) = 25 + 15 + 5 = 45 рублей

Общий фонд равен 270 000 рублей; в среднем на билет приходится 45 рублей.

Ответ45 рублей

Важно: в условии спрашивается выигрыш на один билет. Стоимость билета вычитать не нужно, потому что чистая прибыль в задаче не требуется.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула математического ожидания: $E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot p_{i}$ ; для этой таблицы $p_{i} = \frac{n_{i}}{6000}$ .
Для всех трёх исходов вероятность равна числу билетов в столбце, делённому на 6000.
4310 билетов без выигрыша учитываются в общем количестве, но добавляют к ожиданию 0.
Сумма всех выплат 270 000 рублей даёт проверку 270 000 / 6000 = 45.
Билеты без выигрыша учитываются среди всех 6000 билетов, но их вклад $0 \cdot p = 0$ .