Задание 1 из 22Векторы

Линия №2 · Базовый уровень

Даны векторы $a$ (1; 1) и $b$ (0; 7). Найдите длину вектора 8 $a$ + $b$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: D891F7

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 17

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Векторные выражения считаются покоординатно. После сложения или вычитания координат остаётся найти модуль полученного вектора.

Ключевая идея: сначала получить координаты нужного вектора, затем применить формулу длины

x^{2} + y^{2}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Векторы $\vec a=(1;1)$ и $\vec b=(0;7)$ .

Нужно найти: длину вектора $8\vec a+\vec b$ .

План решения: Сначала умножим $\vec a$ на $8$ , затем прибавим $\vec b$ . После этого найдём длину полученного вектора по его координатам.

Шаг 1. Умножим вектор $\vec a$ на число $8$

Дан вектор

\vec a=(1;1)

Чтобы умножить вектор на число $8$ , нужно умножить на $8$ каждую его координату:

8\vec a=8(1;1)=(8\cdot1;8\cdot1)

Вычисляем координаты:

8\cdot1=8,\qquad 8\cdot1=8

Следовательно,

8\vec a=(8;8)

Шаг 2. Найдём координаты вектора $8\vec a+\vec b$

Мы знаем

8\vec a=(8;8),\qquad \vec b=(0;7)

При сложении векторов соответствующие координаты складываются отдельно:

(x_1;y_1)+(x_2;y_2)=(x_1+x_2;y_1+y_2)

Первая координата:

8+0=8

Вторая координата:

8+7=15

Поэтому

8\vec a+\vec b=(8;15)

Шаг 3. Вычислим длину полученного вектора

Получили вектор $(8;15)$ . Длина вектора $(x;y)$ находится по формуле

\sqrt{x^2+y^2}

Подставляем координаты:

\left|8\vec a+\vec b\right|=\sqrt{8^2+15^2}

Вычисляем квадраты:

8^2=64,\qquad 15^2=225

Складываем:

64+225=289

Извлекаем квадратный корень:

\sqrt{289}=17

Следовательно,

\left|8\vec a+\vec b\right|=17

Ответ:

17

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Сложение и вычитание векторов выполняются по соответствующим координатам.
Умножение вектора на число умножает каждую его координату.
Длина вектора (x; y) равна $x^{2} + y^{2}$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сменить знак только у одной координаты при вычитании векторов.
Забыть умножить обе координаты вектора на коэффициент.
В формуле длины сложить координаты вместо суммы их квадратов.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проверьте координаты каждого промежуточного вектора.
2Возведите обе координаты в квадрат и сложите.
3Убедитесь, что длина неотрицательна.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №2Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Даны векторы a(1; 1) и b(0; 7). Найдите длину вектора 8a + b.