Задание 7 из 22Векторы

Линия №2 · Базовый уровень

Длины векторов $a$ и $b$ равны 3 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение $a$ · $b$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 028837

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 10,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Когда известны длины векторов и угол между ними, координаты искать не нужно: достаточно формулы |a|·|b|·cos α.

Ключевая идея: использовать формулу скалярного произведения через длины и косинус угла.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Длины векторов равны $|\vec a|=3$ и $|\vec b|=7$ , а угол между ними равен $60^\circ$ .

Нужно найти: скалярное произведение $\vec a\cdot\vec b$ .

План решения: Подставим обе длины и угол $60^\circ$ в геометрическую формулу скалярного произведения.

Шаг 1. Запишем геометрическую формулу

Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:

\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha

Шаг 2. Подставим длины и угол

|\vec a|=3,\qquad |\vec b|=7,\qquad \alpha=60^\circ

\vec a\cdot\vec b=3\cdot7\cdot\cos60^\circ

Известно, что

\cos60^\circ=\dfrac{1}{2}

Поэтому

\vec a\cdot\vec b=3\cdot7\cdot\dfrac{1}{2}

Шаг 3. Найдём числовое значение

Сначала вычисляем произведение длин:

3\cdot7=21

Затем делим на $2$ :

21\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{21}{2}

Преобразуем неправильную дробь в десятичную:

\dfrac{21}{2}=10{,}5

Следовательно,

\vec a\cdot\vec b=10{,}5

Ответ:

10{,}5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

$a$ · $b$ = | $a$ |·| $b$ |·cos α.
cos 60° = $\frac{1}{2}$ .
Скалярное произведение — число, а не вектор.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Забыть косинус угла.
Подставить sin 60° вместо cos 60°.
Округлить точный ответ раньше времени.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проверьте, что угол именно между данными векторами.
2Подставьте длины и точное значение косинуса.
3Проверьте знак: при угле 60° произведение положительное.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №2

Все задания линии №2 →

ВекторыДаны векторы $a$ (1; 1) и $b$ (0; 7). Найдите длину вектора 8 $a$ + $b$ .FIPI ID D891F7 ВекторыДаны векторы $a$ (2; 0) и $b$ (1; 4). Найдите длину вектора $a$ + 3 $b$ .FIPI ID D331CB ВекторыДаны векторы $a$ (25; 0) и $b$ (1; −5). Найдите длину вектора $a$ − 4 $b$ .FIPI ID 40B442 ВекторыДаны векторы $a$ (31; 0) и $b$ (1; −1). Найдите длину вектора $a$ − 24 $b$ .FIPI ID C9EE7C ВекторыНа координатной плоскости изображены векторы $a$ и $b$ , координатами которых являются целые…FIPI ID 579B74 ВекторыДлины векторов $a$ и $b$ равны 3 и 5, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное…FIPI ID 238861

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №2Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Длины векторов a и b равны 3 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение a·b.