Задание 5 из 22Векторы

Линия №2 · Базовый уровень

На координатной плоскости изображены векторы $a$ и $b$ , координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $a$ + 4 $b$ .

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 579B74 по теме «Векторы», задание 2 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №2 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 579B74

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 11

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Векторные выражения считаются покоординатно. После сложения или вычитания координат остаётся найти модуль полученного вектора.

Ключевая идея: сначала получить координаты нужного вектора, затем применить формулу длины

x^{2} + y^{2}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$ . По рисунку начало и конец $\vec a$ имеют координаты $(1;1)$ и $(4;5)$ , а начало и конец $\vec b$ — $(3;3)$ и $(5;2)$ .

Нужно найти: длину вектора $\vec a+4\vec b$ .

План решения: Считаем с рисунка координаты обоих векторов, составим вектор $\vec a+4\vec b$ и вычислим его длину.

Шаг 1. Определим координаты векторов по рисунку

Координаты вектора находятся по правилу: из координат конца вычитаются координаты начала.

Для вектора $\vec a$ начало — $(1;1)$ , конец — $(4;5)$ :

\vec a=(4-1;5-1)

4-1=3,\qquad 5-1=4

\vec a=(3;4)

Для вектора $\vec b$ начало — $(3;3)$ , конец — $(5;2)$ :

\vec b=(5-3;2-3)

5-3=2,\qquad 2-3=-1

\vec b=(2;-1)

Шаг 2. Найдём вектор $\vec a+4\vec b$

Сначала умножаем каждую координату $\vec b$ на $4$ :

4\vec b=4(2;-1)=(8;-4)

Теперь складываем $\vec a=(3;4)$ и $4\vec b=(8;-4)$ по координатам:

\vec a+4\vec b=(3+8;4+(-4))

3+8=11,\qquad 4+(-4)=0

Следовательно,

\vec a+4\vec b=(11;0)

Шаг 3. Вычислим длину

Применяем формулу длины к вектору $(11;0)$ :

\left|\vec a+4\vec b\right|=\sqrt{11^2+0^2}

11^2=121,\qquad 0^2=0

121+0=121

\sqrt{121}=11

Ответ:

11

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Сложение и вычитание векторов выполняются по соответствующим координатам.
Умножение вектора на число умножает каждую его координату.
Длина вектора (x; y) равна $x^{2} + y^{2}$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сменить знак только у одной координаты при вычитании векторов.
Забыть умножить обе координаты вектора на коэффициент.
В формуле длины сложить координаты вместо суммы их квадратов.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проверьте координаты каждого промежуточного вектора.
2Возведите обе координаты в квадрат и сложите.
3Убедитесь, что длина неотрицательна.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №2Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На координатной плоскости изображены векторы a и b, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора a + 4b.