Задание 3 из 22Векторы

Линия №2 · Базовый уровень

Даны векторы $a$ (25; 0) и $b$ (1; −5). Найдите длину вектора $a$ − 4 $b$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 40B442

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 29

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Векторные выражения считаются покоординатно. После сложения или вычитания координат остаётся найти модуль полученного вектора.

Ключевая идея: сначала получить координаты нужного вектора, затем применить формулу длины

x^{2} + y^{2}

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Векторы $\vec a=(25;0)$ и $\vec b=(1;-5)$ .

Нужно найти: длину вектора $\vec a-4\vec b$ .

План решения: Сначала вычислим $4\vec b$ , затем по координатам найдём разность $\vec a-4\vec b$ и только после этого вычислим её длину.

Шаг 1. Найдём вектор $4\vec b$

Дан вектор

\vec b=(1;-5)

Чтобы умножить его на $4$ , умножаем каждую координату на $4$ :

4\vec b=4(1;-5)=(4\cdot1;4\cdot(-5))

Вычисляем:

4\cdot1=4,\qquad 4\cdot(-5)=-20

Следовательно,

4\vec b=(4;-20)

Шаг 2. Найдём вектор $\vec a-4\vec b$

Подставляем известные векторы:

\vec a=(25;0),\qquad 4\vec b=(4;-20)

Координаты вычитаются по отдельности:

(x_1;y_1)-(x_2;y_2)=(x_1-x_2;y_1-y_2)

Первая координата:

25-4=21

Вторая координата:

0-(-20)=0+20=20

Здесь важно: вычитание отрицательного числа заменяется прибавлением противоположного числа. Поэтому

\vec a-4\vec b=(21;20)

Шаг 3. Найдём длину полученного вектора

Мы получили вектор $(21;20)$ . Его длина равна

\left|\vec a-4\vec b\right|=\sqrt{21^2+20^2}

Вычисляем квадраты координат:

21^2=441,\qquad 20^2=400

Складываем:

441+400=841

Получаем

\left|\vec a-4\vec b\right|=\sqrt{841}

Так как $29^2=841$ , то

\sqrt{841}=29

Ответ:

29

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Сложение и вычитание векторов выполняются по соответствующим координатам.
Умножение вектора на число умножает каждую его координату.
Длина вектора (x; y) равна $x^{2} + y^{2}$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сменить знак только у одной координаты при вычитании векторов.
Забыть умножить обе координаты вектора на коэффициент.
В формуле длины сложить координаты вместо суммы их квадратов.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проверьте координаты каждого промежуточного вектора.
2Возведите обе координаты в квадрат и сложите.
3Убедитесь, что длина неотрицательна.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №2Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Даны векторы a(25; 0) и b(1; −5). Найдите длину вектора a − 4b.