Задание 21 из 22Векторы

Линия №2 · Базовый уровень

На координатной плоскости изображены векторы $a$ и $b$ , координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $a$ · $b$ .

Оригинальный рисунок задания ФИПИ A288A1 по теме «Векторы», задание 2 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №2 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: A288A1

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Скалярное произведение координатных векторов находится как сумма произведений соответствующих координат. Если векторы заданы рисунком, сначала вычисляем их координаты «конец минус начало».

Ключевая идея: использовать координатную формулу скалярного произведения x₁x₂ + y₁y₂.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$ . По рисунку $\vec a$ направлен из точки $(1;1)$ в точку $(3;4)$ , а $\vec b$ — из точки $(3;3)$ в точку $(5;2)$ .

Нужно найти: $\vec a\cdot\vec b$ .

План решения: Определим координаты каждого вектора как разность координат конца и начала, затем перемножим соответствующие координаты.

Шаг 1. Определим координаты вектора $\vec a$

Начало $\vec a$ находится в точке $(1;1)$ , конец — в точке $(3;4)$ . Вычитаем координаты начала из координат конца:

\vec a=(3-1;4-1)

3-1=2,\qquad 4-1=3

Получаем

\vec a=(2;3)

Шаг 2. Определим координаты вектора $\vec b$

Начало $\vec b$ — $(3;3)$ , конец — $(5;2)$ :

\vec b=(5-3;2-3)

Первая координата:

5-3=2

Вторая координата:

2-3=-1

Следовательно,

\vec b=(2;-1)

Шаг 3. Найдём скалярное произведение

\vec a\cdot\vec b=2\cdot2+3\cdot(-1)

Вычисляем произведения:

2\cdot2=4,\qquad 3\cdot(-1)=-3

Складываем:

4+(-3)=4-3=1

Поэтому

\vec a\cdot\vec b=1

Ответ:

1

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для $a$ =(x₁;y₁), $b$ =(x₂;y₂): $a$ · $b$ =x₁x₂+y₁y₂.
Координаты вектора по рисунку: (xкон−xнач; yкон−yнач).
Линейные комбинации векторов сначала вычисляются покоординатно.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Перемножить крест-накрест x₁y₂ и y₁x₂.
Потерять минус у отрицательной координаты.
На рисунке взять координаты конца вместо разности «конец минус начало».

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Определите координаты обоих векторов.
2Перемножьте x-координаты и y-координаты попарно.
3Сложите два произведения и проверьте знак.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №2Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На координатной плоскости изображены векторы a и b, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение a·b.