Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 18 · ФИПИ 220D31146 из 154

Длина отрезка на клетках через подобие треугольников

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Рисунок к заданию 18 ФИПИ 220D31

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 220D31.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1,5.

Что нужно найти

Длина отрезка на клетках через подобие треугольников

Идея решения

Достроим крайний вертикальный отрезок DE между сторонами фигуры. Он параллелен AB. Малый и большой треугольники имеют общую вершину C и подобны. Длины их параллельных оснований относятся так же, как расстояния от C до этих оснований.

Размер клетки
1×11\times1
Найти
длину AB
Параллельные отрезки
AB и достроенный DE

Достраиваем фигуру

Общую вершину двух наклонных сторон назовём C. Соединим их крайние точки отрезком DE, параллельным AB. Получим большой треугольник CDE и малый треугольник с основанием AB. Проведём из C перпендикуляр: K — его пересечение с AB, H — с DE.

  • DE: 3 клетки
  • AB — искомый отрезок
  • CH: 2 клетки — до DE
AB∥DE,CK⊥AB,CH⊥DEAB\parallel DE,\quad CK\perp AB,\quad CH\perp DE

Два треугольника с общей вершиной C

Два треугольника с общей вершиной C. Большое основание DE и искомое AB параллельны.
Обозначения на чертеже
  • DE: 3 клетки
  • AB — искомый отрезок
  • C — общая вершина
Два треугольника с общей вершиной C. Большое основание DE и искомое AB параллельны.
Открыть схему крупнее ↗

Считаем крайний отрезок DE

По вертикальному отрезку DE считаем промежутки между линиями сетки: 1, 2, 3. Всего: 3 клетки. Сторона одной клетки равна 1, поэтому длина равна числу клеток.

  • DE: 3 клетки
  • CH: 2 клетки — до DE
  • Оранжевая линия — DE
DEDE=3=3⋅1\cdot1
=3=3

Считаем клетки-промежутки, а не узлы сетки: узлов на один больше.

Считаем расстояние до DE

По горизонтальному отрезку CH считаем промежутки между линиями сетки: 1, 2. Всего: 2 клетки. Сторона одной клетки равна 1, поэтому длина равна числу клеток.

  • CH: 2 клетки — до DE
CHCH=2=2⋅1\cdot1
=2=2

Считаем клетки-промежутки, а не узлы сетки: узлов на один больше.

Считаем расстояние до AB

По горизонтальному отрезку CK считаем промежутки между линиями сетки: 1. Всего: 1 клетка. Сторона одной клетки равна 1, поэтому длина равна числу клеток.

  • CK: 1 клетка — до AB
CKCK=1=1⋅1\cdot1
=1=1

Считаем клетки-промежутки, а не узлы сетки: узлов на один больше.

Считаем расстояния от C до параллельных оснований

Считаем расстояния от C до параллельных оснований. На этой схеме подписаны только C, K и H, чтобы обозначения не мешали друг другу.
Обозначения на чертеже
  • CH: 2 клетки — до DE
  • CK: 1 клетка — до AB
  • Зелёная линия — AB
  • Оранжевая линия — DE
Считаем расстояния от C до параллельных оснований. На этой схеме подписаны только C, K и H, чтобы обозначения не мешали друг другу.
Открыть схему крупнее ↗

Объясняем подобие

У треугольников общий угол при C. Углы между наклонными сторонами и параллельными AB, DE соответственно равны. Поэтому треугольники подобны по двум углам. Их соответствующие высоты CK и CH уменьшаются во столько же раз, что и основания AB и DE.

  • DE: 3 клетки
  • AB — искомый отрезок
  • CH: 2 клетки — до DE
ABDE\frac{AB}{DE}=CKCH=\frac{CK}{CH}

Находим коэффициент уменьшения

Расстояние до малого основания делим на расстояние до большого.

  • AB — искомый отрезок
  • CK: 1 клетка — до AB
  • Зелёная линия — AB
kk=12=\frac{1}{2}
=0,5=0{,}5

Коэффициент равен 1/2: AB — средняя линия достроенного треугольника.

Вычисляем AB

Умножаем большое основание DE на найденный коэффициент.

  • DE: 3 клетки
  • AB — искомый отрезок
  • CH: 2 клетки — до DE
ABAB=DE=DE⋅k\cdot k
ABAB=3=3⋅0,5\cdot0{,}5
=1,5=1{,}5

Проверяем отношение

Разделим найденный AB на DE: должны получить то же отношение, что CK/CH.

  • DE: 3 клетки
  • AB — искомый отрезок
  • CH: 2 клетки — до DE
1,53\frac{1{,}5}{3}=12=\frac{1}{2}
=0,5=0{,}5

Обе пары соответствующих отрезков дают одинаковый коэффициент.

Записываем ответ

Мы нашли длину. В поле ответа записываем только число.

1,51{,}5

Ответ: 1,5. Обозначения и единицы измерения в поле ответа не нужны.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаДлина отрезка на клетках через подобие треугольников
Ответ1,51{,}5

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Достройте крайний отрезок DE параллельно AB.
  2. Посчитайте длину DE по клеткам.
  3. Найдите расстояния от общей вершины до DE и AB.
  4. Обоснуйте подобие треугольников.
  5. Умножьте DE на отношение высот.
  6. Проверьте ответ обратным делением.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Параллельность видна по направлению линий сетки.
  • Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы.
  • Отношение соответствующих сторон равно отношению соответствующих высот.
  • Длины по сетке определяют по клеткам, а не линейкой по экрану.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • AB может начинаться между узлами сетки: не округляйте его длину на глаз.
  • В отношении высот берите расстояния от общей вершины C, а не расстояние между основаниями.
  • Коэффициент малого треугольника к большому меньше 1; умножаем большое основание на этот коэффициент.
Все задания №18 (154)