Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 18 · ФИПИ 3B374299 из 154

Отношение отрезков треугольника по клеткам

На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM короче отрезка CM?

Рисунок к заданию 18 ФИПИ 3B3742

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 3B3742.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 4.

Что нужно найти

Отношение отрезков треугольника по клеткам

Идея решения

Отрезки лежат на одной наклонной прямой, поэтому имеют одинаковый наклон. Их длины относятся так же, как горизонтальные проекции. Эти проекции удобно посчитать по клеткам и разделить большую на меньшую.

Сравниваемые отрезки
CM и AM
Найти
во сколько раз CM длиннее AM

Определяем сравниваемые отрезки

Точка M лежит на стороне AC. Требуется узнать, во сколько раз CM больше AM. Фраза «короче» в условии означает то же сравнение: большую длину делим на меньшую.

  • CM — больший отрезок
  • AM — меньший отрезок
kk=CMAM=\frac{CM}{AM}

Наклонные отрезки и их проекции выделены одинаковыми цветами

Наклонные отрезки и их проекции выделены одинаковыми цветами. Сравниваем число клеток на проекциях.
Обозначения на чертеже
  • CM — больший отрезок
  • AM — меньший отрезок
  • PQ: 1 клетка
  • QR: 4 клетки
Наклонные отрезки и их проекции выделены одинаковыми цветами. Сравниваем число клеток на проекциях.
Открыть схему крупнее ↗

Проецируем на линию сетки

Из A, M и C проведём параллельные вертикальные линии до одной горизонтали. Их основания обозначим P, Q и R. Отрезок PQ — проекция AM, QR — проекция MC.

  • AM — меньший отрезок
  • PQ: 1 клетка
  • QR: 4 клетки
PQPQ=1,QR=1,\quad QR
=4=4

Считаем первую проекцию

По горизонтальному отрезку PQ считаем промежутки между линиями сетки: 1. Всего: 1 клетка. Сторона одной клетки равна 1, поэтому длина равна числу клеток.

  • PQ: 1 клетка
PQPQ=1=1⋅1\cdot1
=1=1

Считаем клетки-промежутки, а не узлы сетки: узлов на один больше.

Считаем вторую проекцию

По горизонтальному отрезку QR считаем промежутки между линиями сетки: 1, 2, 3, 4. Всего: 4 клетки. Сторона одной клетки равна 1, поэтому длина равна числу клеток.

  • QR: 4 клетки
QRQR=4=4⋅1\cdot1
=4=4

Считаем клетки-промежутки, а не узлы сетки: узлов на один больше.

Почему можно сравнивать проекции

Если у каждого наклонного отрезка достроить горизонтальный и вертикальный катеты, получатся прямоугольные треугольники. У них одинаковый острый угол, потому что исходные отрезки лежат на одной прямой. Треугольники подобны; отношение гипотенуз равно отношению соответствующих горизонтальных катетов.

  • CM — больший отрезок
  • AM — меньший отрезок
CMAM\frac{CM}{AM}=41=\frac{4}{1}

Вычисляем отношение

Большая проекция содержит 4 клеток, меньшая — 1. Делим большую на меньшую.

kk=41=\frac{4}{1}
=4=4

Проверяем и отвечаем словами

Умножим меньшую проекцию на найденное число: должна получиться большая.

  • CM — больший отрезок
  • AM — меньший отрезок
11⋅4\cdot4=4=4

CM длиннее AM в 4 раза; соответственно AM короче CM в 4 раза.

Записываем ответ

Мы нашли отношение величин — во сколько раз одна больше другой. В поле ответа записываем только число.

44

Ответ: 4. Единицы у отношения сокращаются.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаОтношение отрезков треугольника по клеткам
Ответ44

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определите сторону, на которой находится M.
  2. Постройте проекции её концов и точки M на линию сетки.
  3. Посчитайте обе проекции по клеткам.
  4. Объясните равенство отношений через подобие.
  5. Разделите большую проекцию на меньшую.
  6. Проверьте обратным умножением.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Сравниваемые отрезки имеют общую точку M и лежат на одной стороне треугольника.
  • У прямоугольных треугольников с одинаковым острым углом стороны пропорциональны.
  • «Во сколько раз» означает отношение, а не разность.
  • Если один отрезок короче другого в k раз, другой длиннее первого в те же k раз.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не считайте наклонный отрезок как обычное количество горизонтальных клеток: клетки дают только проекцию.
  • Сравнивайте проекции на одно направление — обе горизонтальные или обе вертикальные.
  • Делите большую длину на меньшую, чтобы получить число больше 1.
Все задания №18 (154)