Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 18 · ФИПИ 89187F109 из 154

Отношение площадей кругов на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Рисунок к заданию 18 ФИПИ 89187F

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 89187F.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 5.

Что нужно найти

Отношение площадей кругов на клетчатой бумаге

Идея решения

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. Поэтому найдём не сами радиусы, а их квадраты по сетке. При делении площадей общий множитель π сократится.

Найти
во сколько раз площадь большого круга больше площади малого
Единица длины
сторона клетки — условная единица

Выбираем центры и радиусы

Центр большого круга обозначим O, малого — P. Выберем точки A и B на окружностях, лежащие в узлах сетки. Тогда OA = R, PB = r. Клетку временно считаем единичной: на отношение площадей это не влияет.

  • PB: 1 клетка
RR=OA,r=OA,\quad r
=PB=PB

Центры O и P и выбранные радиусы показаны на сетке

Центры O и P и выбранные радиусы показаны на сетке. Для наклонных радиусов выделены горизонтальные и вертикальные сдвиги.
Обозначения на чертеже
  • OH = 2, HA = 1 — клетки
  • R² = 5
  • PB: 1 клетка
Центры O и P и выбранные радиусы показаны на сетке. Для наклонных радиусов выделены горизонтальные и вертикальные сдвиги.
Открыть схему крупнее ↗

Считаем сдвиги для большого радиуса

От O до A нужно сместиться на 2 клетки по горизонтали и на 1 клетку по вертикали. Это катеты вспомогательного прямоугольного треугольника; сам радиус — гипотенуза.

  • OH = 2, HA = 1 — клетки
OHOH=2,HA=2,\quad HA
=1=1

Находим квадрат большого радиуса

По теореме Пифагора складываем квадраты горизонтального и вертикального сдвигов. Сам корень не извлекаем, потому что в формуле площади нужен именно квадрат радиуса.

R2R^2=22={2}^{2}+12+{1}^{2}
=4=4+1+1
=5=5

Считаем радиус малого круга

По вертикальному отрезку PB считаем промежутки между линиями сетки: 1. Всего: 1 клетка. Сторона одной клетки равна 1, поэтому длина равна числу клеток.

  • PB: 1 клетка
PBPB=1=1⋅1\cdot1
=1=1

Считаем клетки-промежутки, а не узлы сетки: узлов на один больше.

Находим квадрат малого радиуса

Умножаем найденную длину радиуса на саму себя.

r2r^2=12={1}^{2}
=1=1⋅1\cdot1
=1=1

Делим формулы площадей

Чтобы узнать, во сколько раз площадь большого круга больше, делим её на площадь малого. Множитель π одинаковый и сокращается.

SбSм\frac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}}=πR2πr2=\frac{\pi R^2}{\pi r^2}
=R2r2=\frac{R^2}{r^2}

Здесь не нужно приближённое значение π и не нужно округлять радиусы.

Вычисляем отношение

Подставляем найденные квадраты радиусов.

51\frac{5}{1}=5=5

Большая площадь делится на меньшую, поэтому результат должен быть больше 1.

Проверяем умножением

Если умножить квадрат малого радиуса на найденное отношение, должен получиться квадрат большого радиуса.

11⋅5\cdot5=5=5

Проверка выполнена.

Записываем ответ

Мы нашли отношение величин — во сколько раз одна больше другой. В поле ответа записываем только число.

55

Ответ: 5. Единицы у отношения сокращаются.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаОтношение площадей кругов на клетчатой бумаге
Ответ55

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Отметьте центры кругов и удобные точки окружностей на узлах сетки.
  2. Найдите квадрат большого радиуса.
  3. Найдите квадрат малого радиуса.
  4. Разделите формулы площадей и сократите π.
  5. Вычислите отношение квадратов радиусов.
  6. Проверьте обратным умножением.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Радиус соединяет центр с точкой окружности.
  • Если радиус наклонный, его квадрат удобно найти по теореме Пифагора.
  • Для отношения площадей единица измерения клеток не важна: она одинаковая у обоих кругов.
  • Отношение площадей равно квадрату отношения радиусов, а не самому отношению радиусов.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не сравнивайте радиусы вместо площадей.
  • Не считайте наклонный радиус по горизонтальным клеткам: учитывайте и вертикальный сдвиг.
  • Не округляйте квадратные корни и число π: они здесь не нужны.
  • Чтобы узнать, во сколько раз больше, нужно делить, а не вычитать.
Все задания №18 (154)