Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 18 · ФИПИ CFCA3387 из 154

Площадь ромба по диагоналям на клетках

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1  изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Рисунок к заданию 18 ФИПИ CFCA33

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание CFCA33.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 20.

Что нужно найти

Площадь ромба по диагоналям на клетках

Идея решения

Соединим противоположные вершины: получим горизонтальную AC и вертикальную BD. Их длины можно точно посчитать по клеткам. Площадь равна половине произведения диагоналей.

Размер клетки
1×11\times1
Фигура
ромб ABCD
Найти
площадь

Проводим диагонали

AC соединяет левую и правую вершины и идёт горизонтально. BD соединяет верхнюю и нижнюю вершины и идёт вертикально. Точка O — их пересечение.

  • AC: 10 клеток
  • BD: 4 клетки
AC⊥BD,AOAC\perp BD,\quad AO=OC,BO=OC,\quad BO
=OD=OD

Две диагонали идут вдоль линий единичной сетки; их можно посчитать по клеткам без измерения наклонных сторон

Две диагонали идут вдоль линий единичной сетки; их можно посчитать по клеткам без измерения наклонных сторон.
Обозначения на чертеже
  • AC: 10 клеток
  • BD: 4 клетки
  • O — середина обеих диагоналей
Две диагонали идут вдоль линий единичной сетки; их можно посчитать по клеткам без измерения наклонных сторон.
Открыть схему крупнее ↗

Считаем диагональ AC

По горизонтальному отрезку AC считаем промежутки между линиями сетки: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Всего: 10 клеток. Сторона одной клетки равна 1, поэтому длина равна числу клеток.

  • AC: 10 клеток
ACAC=10=10⋅1\cdot1
=10=10

Считаем клетки-промежутки, а не узлы сетки: узлов на один больше.

Считаем диагональ BD

По вертикальному отрезку BD считаем промежутки между линиями сетки: 1, 2, 3, 4. Всего: 4 клетки. Сторона одной клетки равна 1, поэтому длина равна числу клеток.

  • BD: 4 клетки
BDBD=4=4⋅1\cdot1
=4=4

Считаем клетки-промежутки, а не узлы сетки: узлов на один больше.

Объясняем формулу площади

Четыре треугольника вокруг O прямоугольные. У каждого катеты AC/2 и BD/2, поэтому сумма их площадей равна AC·BD/2.

  • AC: 10 клеток
  • BD: 4 клетки
SS=4=4⋅12\cdot\frac12⋅AC2\cdot\frac{AC}{2}⋅BD2\cdot\frac{BD}{2}
=AC⋅BD2=\frac{AC\cdot BD}{2}

Подставляем диагонали

Сначала перемножаем длины целых диагоналей, затем делим на 2.

SS=10⋅42=\frac{10\cdot4}{2}
=402=\frac{40}{2}
=20=20

Проверяем через один треугольник

Половины диагоналей равны 5 и 2. Найдём площадь одного из четырёх треугольников и умножим на 4.

S1S_1=5⋅22=\frac{5\cdot2}{2}
=102=\frac{10}{2}

Считаем числитель: 5⋅2=105\cdot2=10.

=5=5
SS=4=4⋅5\cdot5
=20=20

Записываем ответ

Мы нашли площадь в квадратных единицах. В поле ответа записываем только число.

2020

Ответ: 20. Обозначения и единицы измерения в поле ответа не нужны.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь ромба по диагоналям на клетках
Ответ2020

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Проведите обе диагонали.
  2. Посчитайте горизонтальную диагональ AC.
  3. Посчитайте вертикальную диагональ BD.
  4. Перемножьте длины и разделите на 2.
  5. Проверьте через четыре прямоугольных треугольника.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диагональ соединяет противоположные, а не соседние вершины.
  • По горизонтальным и вертикальным линиям считаем клетки-промежутки.
  • У ромба диагонали обычно имеют разную длину.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не путайте диагональ с наклонной стороной ромба.
  • Не считайте только половину диагонали от центра до вершины.
  • Площадь равна половине произведения диагоналей, а не всему произведению.
Все задания №18 (154)