Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 18 · ФИПИ 1F239C63 из 154

Площадь ромба по диагоналям на клетках

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1  изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Рисунок к заданию 18 ФИПИ 1F239C

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1F239C.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 6.

Что нужно найти

Площадь ромба по диагоналям на клетках

Идея решения

Соединим противоположные вершины: получим горизонтальную AC и вертикальную BD. Их длины можно точно посчитать по клеткам. Площадь равна половине произведения диагоналей.

Размер клетки
1×11\times1
Фигура
ромб ABCD
Найти
площадь

Проводим диагонали

AC соединяет левую и правую вершины и идёт горизонтально. BD соединяет верхнюю и нижнюю вершины и идёт вертикально. Точка O — их пересечение.

  • AC: 2 клетки
  • BD: 6 клеток
AC⊥BD,AOAC\perp BD,\quad AO=OC,BO=OC,\quad BO
=OD=OD

Две диагонали идут вдоль линий единичной сетки; их можно посчитать по клеткам без измерения наклонных сторон

Две диагонали идут вдоль линий единичной сетки; их можно посчитать по клеткам без измерения наклонных сторон.
Обозначения на чертеже
  • AC: 2 клетки
  • BD: 6 клеток
  • O — середина обеих диагоналей
Две диагонали идут вдоль линий единичной сетки; их можно посчитать по клеткам без измерения наклонных сторон.
Открыть схему крупнее ↗

Считаем диагональ AC

По горизонтальному отрезку AC считаем промежутки между линиями сетки: 1, 2. Всего: 2 клетки. Сторона одной клетки равна 1, поэтому длина равна числу клеток.

  • AC: 2 клетки
ACAC=2=2⋅1\cdot1
=2=2

Считаем клетки-промежутки, а не узлы сетки: узлов на один больше.

Считаем диагональ BD

По вертикальному отрезку BD считаем промежутки между линиями сетки: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего: 6 клеток. Сторона одной клетки равна 1, поэтому длина равна числу клеток.

  • BD: 6 клеток
BDBD=6=6⋅1\cdot1
=6=6

Считаем клетки-промежутки, а не узлы сетки: узлов на один больше.

Объясняем формулу площади

Четыре треугольника вокруг O прямоугольные. У каждого катеты AC/2 и BD/2, поэтому сумма их площадей равна AC·BD/2.

  • AC: 2 клетки
  • BD: 6 клеток
SS=4=4⋅12\cdot\frac12⋅AC2\cdot\frac{AC}{2}⋅BD2\cdot\frac{BD}{2}
=AC⋅BD2=\frac{AC\cdot BD}{2}

Подставляем диагонали

Сначала перемножаем длины целых диагоналей, затем делим на 2.

SS=2⋅62=\frac{2\cdot6}{2}
=122=\frac{12}{2}
=6=6

Проверяем через один треугольник

Половины диагоналей равны 1 и 3. Найдём площадь одного из четырёх треугольников и умножим на 4.

S1S_1=1⋅32=\frac{1\cdot3}{2}
=32=\frac{3}{2}

Считаем числитель: 1⋅3=31\cdot3=3.

=1,5=1{,}5
SS=4=4⋅1,5\cdot1{,}5
=6=6

Записываем ответ

Мы нашли площадь в квадратных единицах. В поле ответа записываем только число.

66

Ответ: 6. Обозначения и единицы измерения в поле ответа не нужны.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь ромба по диагоналям на клетках
Ответ66

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Проведите обе диагонали.
  2. Посчитайте горизонтальную диагональ AC.
  3. Посчитайте вертикальную диагональ BD.
  4. Перемножьте длины и разделите на 2.
  5. Проверьте через четыре прямоугольных треугольника.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диагональ соединяет противоположные, а не соседние вершины.
  • По горизонтальным и вертикальным линиям считаем клетки-промежутки.
  • У ромба диагонали обычно имеют разную длину.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не путайте диагональ с наклонной стороной ромба.
  • Не считайте только половину диагонали от центра до вершины.
  • Площадь равна половине произведения диагоналей, а не всему произведению.
Все задания №18 (154)