Задание 4 из 26Вероятность: сложные события

Линия №5 · Базовый уровень

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,8?

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 3C509C

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Искомое событие «поразить цель» означает «попасть хотя бы один раз». Его удобнее считать через противоположное событие «все выстрелы — промахи»: $P_n=1-(0,5)^n$ . Нужно найти первое $n$ , для которого $P_n\ge 0,8$ .

Ключевая идея: проверять вероятность хотя бы одного попадания по формуле

1-(0,5)^n

и обязательно доказать, что найденное число патронов минимально.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: от перевода условия на язык событий до проверки ответа.

Дано:

Вероятность попадания при каждом независимом выстреле $p=0,5$ , вероятность промаха $q=0,5$ . Нужно обеспечить вероятность хотя бы одного попадания не меньше $0,8$ .

Нужно найти: наименьшее количество патронов, достаточное для требуемой вероятности.

План решения: Вместо перечисления всех способов попасть хотя бы раз рассмотрим противоположное событие — промахнуться во всех выстрелах. Затем последовательно проверим количества патронов до первого подходящего.

Поясняющая формула для этой задачи

P(\text{хотя бы одно попадание})=1-P(\text{все промахи})

P_n=1-q^n=1-(0{,}5)^n

1-(0{,}5)^n\ge 0{,}8

Вероятность $P_n$ возрастает с увеличением $n$ , поэтому первое значение $n$ , выполнившее неравенство, и будет минимальным.

Шаг 1. Перейдём к противоположному событию

Событие «хотя бы одно попадание» не наступает только тогда, когда стрелок промахнулся каждым из выданных патронов.

q=1-p=1-0{,}5=0{,}5

P(\text{все }n\text{ выстрелов — промахи})=q^n=(0{,}5)^n

Шаг 2. Составим формулу вероятности успеха

P_n=1-(0{,}5)^n

Требование задачи переводится в неравенство $P_n\ge 0,8$ .

Шаг 3. Проверим количества патронов по возрастанию

P_1=1-(0{,}5)^{1}=0{,}5

Для $n=1$ : $0,5<0,8$ .

P_2=1-(0{,}5)^{2}=0{,}75

Для $n=2$ : $0,75<0,8$ .

P_3=1-(0{,}5)^{3}=0{,}875

Для $n=3$ : $0,875\ge0,8$ .

Шаг 4. Обоснуем минимальность

Для $n=2$ требуемый уровень $0,8$ ещё не достигнут, а для $n=3$ уже достигнут.

n_{\min}=3

Следовательно, меньшее число патронов не подходит, а $3$ патронов достаточно.

Ответ:

3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Вероятность хотя бы одного успеха в $n$ независимых испытаниях равна $1-q^n$ , где $q$ — вероятность неудачи в одном испытании.
Слова «не меньше $0,8$ » означают неравенство $P_n\ge 0,8$ ; равенство тоже допустимо.
Чтобы доказать минимальность целого $n$ , надо показать: предыдущее значение не подходит, а найденное подходит.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Принять $(0,5)^n$ за вероятность хотя бы одного попадания; это вероятность всех промахов.
Заменить «не меньше $0,8$ » строгим неравенством $>0,8$ .
Записать только подходящее $n=3$ , не проверив предыдущее количество патронов и не доказав минимальность.
Складывать вероятности попаданий: события попадания на разных выстрелах могут произойти одновременно и не являются несовместными.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проверьте, что вероятность промаха равна $q=0,5$ .
2Используйте дополнение до единицы: $P_n=1-q^n$ .
3Сравнивайте с порогом знаком $\ge 0,8$ .
4Убедитесь, что $n=2$ не подходит, а $n=3$ подходит.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №5Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена