Задание 12 из 26Вероятность: сложные события

Линия №5 · Базовый уровень

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени и не попадёт в последнюю.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 2965EA

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,0729

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно получить не просто три попадания, а конкретную последовательность «попадание, попадание, попадание, промах». Сначала найдите вероятность промаха $q=1-0,9$ , затем перемножьте четыре вероятности в том порядке, который указан в условии.

Ключевая идея: для независимых выстрелов вероятность фиксированной последовательности «попадание, попадание, попадание, промах» равна произведению вероятностей её четырёх результатов.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: от перевода условия на язык событий до проверки ответа.

Дано:

Выполняются четыре независимых выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $p=0,9$ . Требуется именно последовательность «попадание, попадание, попадание, промах».

Нужно найти: вероятность последовательности «попадание, попадание, попадание, промах».

План решения: Найдём вероятность промаха, запишем вероятность каждого из четырёх требуемых результатов и перемножим их, потому что выстрелы независимы.

Поясняющая формула для этой задачи

q=1-p

P(A)=p^{3}q^{1}

Здесь $p$ — вероятность попадания, $q$ — вероятность промаха, а событие $A$ содержит три попадания и один промах на указанных в условии местах.

Коэффициент сочетаний здесь не нужен: условие задаёт не любое расположение попаданий, а конкретные первые и последние мишени.

Шаг 1. Найдём вероятность промаха

Попадание и промах при одном выстреле — противоположные события, поэтому их вероятности в сумме дают единицу:

q=1-p=1-0{,}9=0{,}1

Шаг 2. Запишем вероятность требуемой последовательности

В последовательности «попадание, попадание, попадание, промах» получаем три попадания с вероятностью $p$ каждое и один промах с вероятностью $q$ каждый.

P(A)=\underbrace{0{,}9\\cdot0{,}9\\cdot0{,}9}_{3\text{ попад.}}\cdot\underbrace{0{,}1}_{1\text{ промах.}}

P(A)=(0{,}9)^{3}\cdot(0{,}1)^{1}

Шаг 3. Вычислим степени отдельно

(0{,}9)^{3}=0{,}729

(0{,}1)^{1}=0{,}1

Отдельное вычисление степеней уменьшает риск потерять десятичный разряд.

Шаг 4. Перемножим полученные вероятности

P(A)=0{,}729\cdot0{,}1=0{,}0729

Полученное число лежит между $0$ и $1$ , поэтому оно может быть вероятностью. Искомая вероятность равна $0,0729$ .

Ответ:

0{,}0729

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Попадание и промах противоположны: $q=1-p=1-0,9=0,1$ .
При независимых выстрелах вероятности совместных результатов перемножаются: $P(A)=p^{3}q^{1}$ .
Так как места попаданий и промахов уже указаны, множитель $C_4^{3}$ применять нельзя.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Принять вероятность промаха за $0,9$ вместо $1-0,9$ .
Сложить четыре вероятности вместо умножения, хотя требуется совместное наступление независимых результатов.
Умножить на $C_4^{3}$ : это посчитало бы все расположения 3 попаданий, а в задаче задано расположение «попадание, попадание, попадание, промах».
Ошибиться в десятичной записи произведения $0,729\cdot0,1=0,0729$ .

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проверьте, что для промаха взято $q=1-0,9$ .
2Убедитесь, что записано ровно 4 множителя: 3 для попаданий и 1 для промахов.
3Сверьте порядок с условием: «попадание, попадание, попадание, промах».
4Проверьте итог: $0<0,0729<1$ .

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №5Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена