Задание 21 из 26Вероятность: сложные события

Линия №5 · Базовый уровень

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 997E04

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,15

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Всего фломастеров $5+9+11=25$ . Все пары равновероятны, поэтому знаменатель равен $C_{25}^2=300$ . Благоприятную пару образуют любой из $5$ синих и любой из $9$ красных фломастеров.

Ключевая идея: разделить

5\cdot9=45

благоприятных пар на

C_{25}^{2}=300

всех пар.

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: от перевода условия на язык событий до проверки ответа.

Дано:

В коробке $5$ синих, $9$ красных и $11$ зелёных фломастеров. Два фломастера выбирают одновременно, то есть без возвращения.

Нужно найти: вероятность выбрать один синий и один красный фломастер.

План решения: Найдём общее число неупорядоченных пар из всех фломастеров, затем число пар «синий + красный» и применим классическую формулу вероятности.

Поясняющая формула для этой задачи

P(A)=\dfrac{m}{n}

C_N^2=\dfrac{N!}{2!(N-2)!}=\dfrac{N(N-1)}{2}

Пары считаем неупорядоченными, потому что набор из синего и красного фломастеров один и тот же независимо от порядка выбора.

Шаг 1. Найдём общее число фломастеров

N=5+9+11=25

Любая пара из этих $25$ фломастеров равновероятна.

Шаг 2. Посчитаем все возможные пары

n=C_{25}^{2}=\dfrac{25\cdot24}{2}=25\cdot12=300

Деление на $2$ убирает двойной счёт одной и той же пары в двух порядках.

Шаг 3. Посчитаем благоприятные пары

Синий фломастер можно выбрать $5$ способами, а красный — $9$ способами. Каждый выбор синего сочетается с каждым выбором красного.

m=5\cdot9=45

Шаг 4. Вычислим вероятность

P(A)=\dfrac{45}{300}=0{,}15

Вероятность получить один синий и один красный фломастер равна $0,15$ .

Шаг 5. Проверим другим способом — по порядку вытаскивания

P(A)=\dfrac{5}{25}\cdot\dfrac{9}{24}+\dfrac{9}{25}\cdot\dfrac{5}{24}

P(A)=\dfrac{2\cdot5\cdot9}{25\cdot24}=\dfrac{45}{300}=0{,}15

Два слагаемых отвечают порядкам «сначала синий» и «сначала красный»; результат совпал.

Ответ:

0{,}15

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Число неупорядоченных пар из $N$ объектов равно $C_N^2=\dfrac{N(N-1)}2$ .
Число пар «один из 5 синих и один из 9 красных» равно произведению $5\cdot9$ .
При выборе без возвращения во втором последовательном множителе знаменатель уменьшается на единицу.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Не включить $11$ зелёных фломастеров в общее число исходов, хотя они влияют на знаменатель.
Использовать $25^2$ вместо $C_{25}^2$ и тем самым разрешить повторный выбор одного предмета и учесть порядок.
Сложить $5+9$ вместо перемножения числа способов выбрать предмет каждого нужного цвета.
При последовательном способе учесть только порядок «синий, красный» и забыть порядок «красный, синий».

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Общее число фломастеров должно получиться $25$ .
2Все пары: $C_{25}^2=300$ .
3Благоприятные пары: $5\cdot9=45$ .
4Проверьте деление: $\dfrac{45}{300}=0,15$ .

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №5Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена