Задание 6 из 26Вероятность: сложные события

Линия №5 · Базовый уровень

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 6DBE38

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,059

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Батарейку могут забраковать по двум разным причинам: она неисправна и контроль сработал верно либо она исправна, но контроль ошибся. Для этой задачи сначала найдите $P(\overline D)=1-0,05=0,95$ , затем подставьте именно её данные: $P(R)=0,05\cdot0,99+0,95\cdot0,01$ .

Ключевая идея: применить формулу полной вероятности именно с числами

0,05\cdot0,99+0,95\cdot0,01

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: от перевода условия на язык событий до проверки ответа.

Дано:

Батарейка неисправна с вероятностью $P(D)=0,05$ и исправна с вероятностью $P(\overline D)=0,95$ . Контроль бракует неисправную с вероятностью $P(R\mid D)=0,99$ , а исправную по ошибке — с вероятностью $P(R\mid\overline D)=0,01$ .

Нужно найти: вероятность события $R$ — система забракует случайно выбранную батарейку.

План решения: Разобьём событие «забракована» на два несовместных пути: правильная браковка неисправной батарейки и ошибочная браковка исправной. Вероятность каждого пути найдём умножением, затем результаты сложим.

Поясняющая формула для этой задачи

P(R)=P(D)P(R\mid D)+P(\overline D)P(R\mid\overline D)

Это формула полной вероятности для двух гипотез $D$ и $\overline D$ . Они несовместны и вместе охватывают все батарейки.

Шаг 1. Найдём вероятность исправной батарейки

P(\overline D)=1-P(D)=1-0{,}05=0{,}95

То есть доля исправных батареек равна $0,95$ .

Шаг 2. Вычислим вероятность правильной браковки

Чтобы реализовался первый путь, батарейка должна быть неисправной и система должна распознать её как неисправную.

P(D\cap R)=P(D)P(R\mid D)=0{,}05\cdot0{,}99=0{,}0495

Шаг 3. Вычислим вероятность ошибочной браковки

Во втором пути батарейка исправна, но система ошибочно её бракует.

P(\overline D\cap R)=P(\overline D)P(R\mid\overline D)=0{,}95\cdot0{,}01=0{,}0095

Шаг 4. Сложим вероятности двух несовместных путей

P(R)=0{,}0495+0{,}0095=0{,}059

Одну батарейку нельзя одновременно считать исправной и неисправной, поэтому ветви не пересекаются и их вероятности складываются.

Ответ:

0{,}059

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Вероятность исправной батарейки дополняет вероятность неисправной до единицы: $P(\overline D)=1-0,05=0,95$ .
Вероятность последовательного прохождения одной ветви дерева равна произведению вероятностей: $P(D\cap R)=P(D)P(R\mid D)$ .
Вероятности несовместных ветвей, приводящих к одной браковке, складываются.
Для этой задачи формула принимает вид $P(R)=0,05\cdot0,99+0,95\cdot0,01$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Взять вероятность исправности равной $0,05$ ; на самом деле она равна $1-0,05=0,95$ .
Перепутать $P(R\mid D)=0,99$ с общей вероятностью браковки: это вероятность браковки только при условии неисправности.
Учесть только правильную браковку и потерять ветвь ошибочной браковки исправной батарейки.
Перемножить вероятности двух ветвей между собой, хотя ветви несовместны и должны складываться.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проверьте дополнение: $0,05+0,95=1$ .
2Первая ветвь: $0,05\cdot0,99=0,0495$ .
3Вторая ветвь: $0,95\cdot0,01=0,0095$ .
4Сумма ветвей должна дать $0,059$ и лежать от $0$ до $1$ .

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №5Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена