Задание 25 из 26Вероятность: сложные события

Линия №5 · Базовый уровень

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 66F056

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,78

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Условия $X<810$ и $X>790$ перекрываются именно на искомом интервале. Их объединение содержит любую возможную массу, поэтому его вероятность равна $1$ . Отсюда $P(790<X<810)=0,96+0,82-1$ .

Ключевая идея: представить искомый интервал как пересечение событий и использовать

P(A\cap B)=P(A)+P(B)-1

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: от перевода условия на язык событий до проверки ответа.

Дано:

Пусть $A={X<810}$ , тогда $P(A)=0,96$ . Пусть $B={X>790}$ , тогда $P(B)=0,82$ . Здесь $X$ — масса буханки в граммах.

Нужно найти: вероятность $P(790<X<810)=P(A\cap B)$ .

План решения: Заметим, что события $A$ и $B$ вместе покрывают все возможные массы. Применим формулу включения–исключения и выразим вероятность пересечения.

Поясняющая формула для этой задачи

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)

Для любой массы выполняется хотя бы одно из неравенств $X<810$ или $X>790$ , поэтому $A\cup B=\Omega$ и $P(A\cup B)=1$ .

Шаг 1. Свяжем искомый интервал с пересечением событий

A\cap B={X<810}\cap{X>790}={790<X<810}

Искомая масса одновременно должна удовлетворять обоим неравенствам.

Шаг 2. Докажем, что объединение событий достоверно

Если $X\le790$ , то обязательно $X<810$ и наступает $A$ . Если $X\ge810$ , то обязательно $X>790$ и наступает $B$ . Если $790<X<810$ , наступают оба события.

A\cup B=\Omega,\qquad P(A\cup B)=1

Шаг 3. Выразим вероятность пересечения

P(A\cap B)=P(A)+P(B)-1

Шаг 4. Подставим числа из условия

P(A\cap B)=0{,}96+0{,}82-1

P(A\cap B)=0{,}78

Вероятность того, что масса попадёт строго между $790$ г и $810$ г, равна $0,78$ .

Шаг 5. Проверим смысл результата

0\le 0{,}78\le\min{0{,}96,0{,}82}

Вероятность пересечения не превосходит вероятность каждого из событий; проверка выполняется.

Ответ:

0{,}78

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Пересечение событий означает одновременное выполнение обоих условий.
Формула включения–исключения: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .
Если $A\cup B$ — достоверное событие, то $P(A\cup B)=1$ .
В этой задаче $A\cap B={790<X<810}$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Просто перемножить $0,96\cdot0,82$ : независимость событий о массе не дана и здесь не нужна.
Вычесть одну вероятность из другой, не разобрав вложенность событий.
Не заметить, что $A\cup B$ покрывает всю числовую прямую и имеет вероятность $1$ .
Сложить $0,96+0,82$ и получить число больше $1$ , забыв вычесть пересечение.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Запишите $A={X<810}$ и $B={X>790}$ .
2Проверьте: искомое событие — $A\cap B$ , а не $A\cup B$ .
3Убедитесь, что $P(A\cup B)=1$ .
4Проверьте вычисление: $0,96+0,82-1=0,78$ .

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №5Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена