Задание 10 из 62Вероятность: сложные события

Линия №5

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 0ECDD4

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,488

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Фраза «хотя бы одна лампа не перегорит» охватывает много случаев. Её противоположность одна: «все три перегорят». Найдите $(0,8)^3=0,512$ и вычтите результат из $1$ .

Ключевая идея: использовать противоположное событие и формулу

1-(0,8)^3

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: от перевода условия на язык событий до проверки ответа.

Дано:

Три лампы перегорают независимо. Для каждой лампы вероятность перегорания за год равна $p=0,8$ .

Нужно найти: вероятность того, что хотя бы одна из трёх ламп не перегорит.

План решения: Считать случаи с одной, двумя и тремя исправными лампами по отдельности долго. Возьмём противоположное событие — все три лампы перегорят — и вычтем его вероятность из единицы.

Поясняющая формула для этой задачи

P(\text{хотя бы одна не перегорит})=1-P(\text{все три перегорят})

P(\text{все три перегорят})=p^3

Шаг 1. Назовём противоположное событие

Пусть $A$ — хотя бы одна лампа не перегорит. Тогда $\overline A$ — все три лампы перегорят.

P(A)=1-P(\overline A)

Шаг 2. Найдём вероятность перегорания всех ламп

Из-за независимости трёх ламп перемножаем три одинаковые вероятности.

P(\overline A)=0{,}8\cdot0{,}8\cdot0{,}8=(0{,}8)^3=0{,}512

Шаг 3. Вычтем вероятность противоположного события из единицы

P(A)=1-0{,}512=0{,}488

Вероятность того, что сохранится хотя бы одна лампа, равна $0,488$ .

Ответ:

0{,}488

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Вероятность противоположного события равна $1-P(A)$ .
При независимости вероятность перегорания всех трёх ламп равна произведению $0,8\cdot0,8\cdot0,8$ .
Слова «хотя бы одна» обычно удобно обрабатывать через событие «ни одной».

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Возвести в куб вероятность неперегорания $1-0,8$ , хотя противоположное событие здесь — перегорание всех трёх.
Остановиться на вероятности всех перегоревших ламп и забыть вычесть её из единицы.
Сложить вероятности перегорания ламп, несмотря на то что требуется их совместное перегорание.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Противоположное событие должно звучать «все три лампы перегорят».
2
Проверьте степень: ламп три, поэтому используется $(0,8)^3$ .
3
Проверьте вычитание: $1-0,512=0,488$ .

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №5Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена