Задание 10 из 26Вероятность: сложные события

Линия №5 · Базовый уровень

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 0ECDD4

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,488

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Фраза «хотя бы одна лампа не перегорит» охватывает много случаев. Её противоположность одна: «все три перегорят». Найдите $(0,8)^3=0,512$ и вычтите результат из $1$ .

Ключевая идея: использовать противоположное событие и формулу

1-(0,8)^3

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: от перевода условия на язык событий до проверки ответа.

Дано:

Три лампы перегорают независимо. Для каждой лампы вероятность перегорания за год равна $p=0,8$ .

Нужно найти: вероятность того, что хотя бы одна из трёх ламп не перегорит.

План решения: Считать случаи с одной, двумя и тремя исправными лампами по отдельности долго. Возьмём противоположное событие — все три лампы перегорят — и вычтем его вероятность из единицы.

Поясняющая формула для этой задачи

P(\text{хотя бы одна не перегорит})=1-P(\text{все три перегорят})

P(\text{все три перегорят})=p^3

Шаг 1. Назовём противоположное событие

Пусть $A$ — хотя бы одна лампа не перегорит. Тогда $\overline A$ — все три лампы перегорят.

P(A)=1-P(\overline A)

Шаг 2. Найдём вероятность перегорания всех ламп

Из-за независимости трёх ламп перемножаем три одинаковые вероятности.

P(\overline A)=0{,}8\cdot0{,}8\cdot0{,}8=(0{,}8)^3=0{,}512

Шаг 3. Вычтем вероятность противоположного события из единицы

P(A)=1-0{,}512=0{,}488

Вероятность того, что сохранится хотя бы одна лампа, равна $0,488$ .

Ответ:

0{,}488

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Вероятность противоположного события равна $1-P(A)$ .
При независимости вероятность перегорания всех трёх ламп равна произведению $0,8\cdot0,8\cdot0,8$ .
Слова «хотя бы одна» обычно удобно обрабатывать через событие «ни одной».

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Возвести в куб вероятность неперегорания $1-0,8$ , хотя противоположное событие здесь — перегорание всех трёх.
Остановиться на вероятности всех перегоревших ламп и забыть вычесть её из единицы.
Сложить вероятности перегорания ламп, несмотря на то что требуется их совместное перегорание.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Противоположное событие должно звучать «все три лампы перегорят».
2Проверьте степень: ламп три, поэтому используется $(0,8)^3$ .
3Проверьте вычитание: $1-0,512=0,488$ .

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №5Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена