Задание 24 из 26Вероятность: сложные события

Линия №5 · Базовый уровень

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 95F2C4

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

«Не более одного раза» — это не только ровно один раз, но и ни разу. Случаи $X=0$ и $X=1$ несовместны, поэтому найдите их по формуле Бернулли и сложите.

Ключевая идея: разложить событие

X\le1

на

X=0

X=1

, получив

\dfrac18+\dfrac38

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: от перевода условия на язык событий до проверки ответа.

Дано:

Команда «Сапфир» играет три матча. В каждом матче вероятность начать с мячом равна $p=\dfrac12$ , жеребьёвки независимы.

Нужно найти: вероятность того, что команда начнёт с мячом не более одного раза.

План решения: Расшифруем «не более одного раза» как два несовместных случая: ни одного успеха или ровно один успех. Найдём вероятности этих случаев и сложим.

Поясняющая формула для этой задачи

P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)

P(X=k)=C_3^k p^k(1-p)^{3-k}

Это формула Бернулли для числа успехов в трёх независимых испытаниях.

Шаг 1. Разберём смысл слов «не более одного»

X\le1\quad\Longleftrightarrow\quad X=0;\text{или};X=1

Случаи несовместны: число успехов не может одновременно равняться нулю и единице.

Шаг 2. Найдём вероятность ни одного успеха

P(X=0)=C_3^0\left(\dfrac12\right)^0\left(\dfrac12\right)^3=1\cdot1\cdot\dfrac18=\dfrac18

Шаг 3. Найдём вероятность ровно одного успеха

Выбрать матч, в котором команда начнёт с мячом, можно $C_3^1=3$ способами.

P(X=1)=C_3^1\left(\dfrac12\right)^1\left(\dfrac12\right)^2=3\cdot\dfrac18=\dfrac38

Шаг 4. Сложим вероятности несовместных случаев

P(X\le1)=\dfrac18+\dfrac38=\dfrac48=\dfrac12=0{,}5

Искомая вероятность равна $0,5$ .

Шаг 5. Проверим перечислением исходов

{ННН,;УНН,;НУН,;ННУ}

Из $2^3=8$ равновероятных последовательностей подходят $4$ , поэтому $P=4/8=0,5$ . Здесь $У$ — начинает с мячом, $Н$ — не начинает.

Ответ:

0{,}5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Фраза «не более одного» означает $0$ или $1$ .
Вероятность ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях: $C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$ .
Вероятности несовместных случаев складываются.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать только ровно один успех и забыть случай ноль успехов.
Принять «не более одного» за «хотя бы один».
Не умножить вероятность одного успеха на $C_3^1=3$ , потеряв три возможных положения успеха.
Сложить вероятности случаев, не проверив их несовместность.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1В событие включены два значения: $X=0$ и $X=1$ .
2Проверьте коэффициенты: $C_3^0=1$ , $C_3^1=3$ .
3Сумма благоприятных последовательностей: $1+3=4$ из $8$ .
4Проверьте: $4/8=0,5$ .

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №5Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена