Задание 23 из 26Вероятность: сложные события

Линия №5 · Базовый уровень

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: A203F4

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,125

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Команда должна выиграть жеребьёвку в каждом из трёх матчей. Это совместное наступление трёх независимых событий с вероятностью $\dfrac12$ , поэтому вероятности перемножаются.

Ключевая идея: для трёх независимых успехов подряд вычислить

(\dfrac12)^3

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: от перевода условия на язык событий до проверки ответа.

Дано:

В каждом из трёх матчей команда «Биолог» начинает с мячом с вероятностью $\dfrac12$ . Результаты трёх независимых жеребьёвок не влияют друг на друга.

Нужно найти: вероятность начать с мячом во всех трёх матчах.

План решения: Событие должно произойти одновременно в первом, втором и третьем матчах, поэтому перемножим три вероятности $\dfrac12$ .

Поясняющая формула для этой задачи

P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)

P(A_i)=\dfrac12

Шаг 1. Обозначим успех в каждом матче

Пусть $A_i$ — команда «Биолог» начинает $i$ -й матч с мячом.

P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\dfrac12

Шаг 2. Перемножим вероятности независимых жеребьёвок

P(A_1\cap A_2\cap A_3)=\dfrac12\cdot\dfrac12\cdot\dfrac12=\left(\dfrac12\right)^3

Шаг 3. Вычислим значение

\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18=0{,}125

Вероятность трёх успехов подряд равна $0,125$ .

Ответ:

0{,}125

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

При честной жеребьёвке вероятность начать с мячом равна $\dfrac12$ .
Вероятности совместного наступления независимых событий перемножаются.
Слова «все три раза» требуют успеха в каждом матче; суммировать разные случаи не нужно.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сложить три вероятности $\dfrac12$ вместо умножения.
Посчитать вероятность хотя бы одного успеха, хотя нужны три успеха из трёх.
Умножить на $C_3^3$ и допустить арифметическую ошибку; здесь $C_3^3=1$ и ничего не меняет.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1В произведении должно быть три множителя $\dfrac12$ .
2События относятся к трём разным матчам.
3Проверьте: $2^3=8$ , поэтому результат $\dfrac18=0,125$ .

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №5Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена