Задание 20 из 26Вероятность: сложные события

Линия №5 · Базовый уровень

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,05. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: EBB536

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,85

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Независимость автоматов в условии не дана, поэтому перемножать $0,9\cdot0,9$ нельзя. Используйте известное пересечение $P(A\cap B)=0,05$ : сначала найдите $P(A\cup B)$ , затем дополнение до единицы.

Ключевая идея: применить включение–исключение

0,1+0,1-0,05

, а затем вычесть полученную вероятность из

1

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: от перевода условия на язык событий до проверки ответа.

Дано:

Пусть $A$ — кофе закончится в первом автомате, $B$ — во втором. Дано $P(A)=P(B)=0,1$ и $P(A\cap B)=0,05$ .

Нужно найти: вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть $P(\overline A\cap\overline B)$ .

План решения: Сначала по формуле включения–исключения найдём вероятность, что кофе закончится хотя бы в одном автомате. Затем перейдём к противоположному событию.

Поясняющая формула для этой задачи

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

\overline A\cap\overline B=\overline{A\cup B}

P(\overline A\cap\overline B)=1-P(A\cup B)

Шаг 1. Определим событие, противоположное искомому

Кофе не останется в обоих автоматах тогда и только тогда, когда он закончится хотя бы в одном: в первом, во втором или сразу в обоих.

(\overline A\cap\overline B)^{\complement}=A\cup B

Шаг 2. Найдём вероятность объединения событий

Складывая $P(A)$ и $P(B)$ , случай окончания кофе в обоих автоматах учитываем дважды, поэтому один раз вычитаем пересечение.

P(A\cup B)=0{,}1+0{,}1-0{,}05=0{,}15

Шаг 3. Перейдём к противоположному событию

P(\overline A\cap\overline B)=1-0{,}15=0{,}85

Значит, кофе останется в обоих автоматах с вероятностью $0,85$ .

Шаг 4. Проверим разбиение вероятностей

0{,}15+0{,}85=1

События «хотя бы один опустел» и «кофе осталось в обоих» противоположны, поэтому проверочная сумма обязана равняться единице.

Ответ:

0{,}85

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для любых двух событий $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .
Событие «кофе осталось в обоих» является противоположным событию «кофе закончилось хотя бы в одном».
Число $0,05$ дано именно как вероятность пересечения $A\cap B$ , поэтому предположение о независимости не требуется.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Вычислить $0,9\cdot0,9$ , самовольно предполагая независимость автоматов.
Сложить $0,1+0,1$ и не вычесть $0,05$ , дважды учтённое пересечение.
Принять $A\cup B$ за событие «оба автомата опустели»; объединение означает «хотя бы один».
Остановиться на $P(A\cup B)=0,15$ и не перейти к искомому противоположному событию.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проверьте обозначения: $A\cap B$ — оба опустели, $A\cup B$ — хотя бы один опустел.
2В формуле объединения пересечение $0,05$ вычитается ровно один раз.
3Проверьте дополнение: $0,15+0,85=1$ .

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №5Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена