ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 2 · ФИПИ 47A37D27 из 72

Авдеево: дорожки и площадка, упаковки по 4 плиток

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1 $-$ 5.

$Схема и данные к практическим задачам ФИПИ$

На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Авдеево,
3-й Поперечный пер., д. 13 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок справа от ворот находится баня, а слева $—$ гараж, отмеченный на плане цифрой 7. Площадь, занятая гаражом, равна 32 кв. м.

Жилой дом находится в глубине территории. Помимо гаража, жилого дома
и бани, на участке имеется сарай, расположенный рядом с гаражом,
и теплица, построенная на территории огорода (огород отмечен цифрой 2). Перед жилым домом имеются яблоневые посадки.

Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером $1 м \times 1 м$ . Между баней и гаражом имеется площадка площадью 64 кв. м, вымощенная плиткой такого же размера, но другой фактуры и цвета.

К домохозяйству подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку перед гаражом?

Условие и рисунки: открытый банк ФИПИ, задание 47A37D.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 23.

Разберём исходную схему и каждый этап вычисления. Цветные пометки помогают проверить, откуда берутся числа.

Что нужно найти

Найти наименьшее число целых упаковок плитки для дорожек и площадки.

Сторона клетки: 2 м
Размер плитки: 1 × 1 м
Ширина дорожек: 1 м
В упаковке: 4 шт.
Нужно покрыть: дорожки и площадку

1. Уточняем, что входит в расчёт

В вопросе названы и дорожки, и площадка перед воротами. Понадобится плитка для обеих частей.

На схеме цветом выделены только нужные части. Серые здания, огород и газон не входят в площадь покрытия.

Отмечаем нужные плитки на плане. Каждый выделенный маленький квадрат — одна плитка 1 × 1 м. Большая клетка сетки имеет сторону 2 м. A и B — плитки на пересечениях дорожек. — Каждый выделенный маленький квадрат — одна плитка 1 × 1 м. Большая клетка сетки имеет сторону 2 м. A и B — плитки на пересечениях дорожек.

2. Различаем большую клетку и маленькую плитку

Сторона большой клетки плана — 2 м. Одна такая клетка имеет площадь 2 · 2 = 4 м². Плитка имеет сторону 1 м и площадь 1 · 1 = 1 м².

На длину одной большой клетки помещаются 2 плитки, а внутри всей большой клетки — 2 · 2 = 4 плитки. Дорожка шириной 1 м занимает только половину ширины большой клетки.

3. Считаем плитки, а не толщину нарисованных линий

Маленькие заштрихованные квадраты на исходном плане обозначают плитки. Между ними есть белые промежутки рисунка: это не дополнительные плитки.

На схеме подсчёта каждая маленькая плитка обозначена отдельным квадратом. Можно пересчитать квадраты или умножить число рядов на число плиток в ряду.

Подробный подсчёт дорожек. Полоски показывают плитки каждой дорожки. Красные плитки A и B показаны дважды; два лишних включения вычитаем. — Полоски показывают плитки каждой дорожки. Красные плитки A и B показаны дважды; два лишних включения вычитаем.

4. Считаем три дорожки по отдельности

От огорода к площадке — 10 плиток. Поперёк от сарая до дорожки у дома — 12 плиток. От дома к площадке — 6 плиток. На схеме подсчёта показаны все три ряда.

Пока получается 10 + 12 + 6 = 28. Но это ещё не число разных плиток: части дорожек пересекаются.

5. Убираем двойной подсчёт пересечений

Две плитки на перекрёстках входят сразу в две дорожки. На схеме они обозначены A и B; каждая буква встречается в двух полосках подсчёта.

Каждую такую плитку мы посчитали дважды, а нужно один раз. Поэтому вычитаем 1 за A и 1 за B: 28 − 1 − 1 = 26 плиток. Не вычитаем 4: в покрытии сами перекрёстки должны остаться.

6. Считаем плитки на площадке

В условии площадь площадки дана прямо: 64 м². Одна плитка закрывает 1 м², поэтому нужно 64 : 1 = 64 плитки. Проверка по рисунку: 4 ряда по 16 плиток дают 64.

Площадка примыкает к дорожкам, но её плитки не входят в уже посчитанные 26 плиток дорожек.

Проверяем площадку по рядам. Один маленький квадрат — плитка площадью 1 м². 4 ряда по 16 плиток дают 64. В условии также дана площадь 64 м². — Один маленький квадрат — плитка площадью 1 м². 4 ряда по 16 плиток дают 64. В условии также дана площадь 64 м².

7. Находим общее количество плиток

На дорожках 26, на площадке 64. Всего 26 + 64 = 90 плиток.

8. Переходим от плиток к упаковкам

Одна упаковка содержит 4 плиток. Делим необходимое количество на размер упаковки: 90 : 4.

22 · 4 = 88 шт. Не хватает ещё: 90 − 88 = 2 шт. Частичную упаковку купить нельзя, поэтому берём ещё одну.

9. Доказываем, что число упаковок минимально

Проверяем выбранное количество упаковок: 23 · 4 = 92 шт. Это не меньше 90; останется 2 шт.

Одной упаковкой меньше не хватает, а выбранного количества хватает. Значит, минимальное число найдено. Обычное округление до ближайшего целого здесь не подходит: округляем вверх.

10. Записываем ответ

Нужно купить 23 упаковки. В поле ответа вводим 23, а не число плиток 90.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Дорожки	26 шт.
Площадка	64 шт.
Всего плиток	90
В одной упаковке	4 шт.
Минимум упаковок	23

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определите нужный объект или покрываемую плиткой часть участка.
Используйте масштаб плана; сложные фигуры разделите на прямоугольники.
Посчитайте площадь, исключив повторный подсчёт пересечений.
Если спрашивают упаковки, разделите число плиток на количество в упаковке и округлите вверх.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Правила чтения данных и записи ответа

При стороне клетки 2 м площадь одной клетки равна 4 м².
Плитка 1 м × 1 м покрывает 1 м² поверхности.
Пересечение двух дорожек нужно учитывать один раз.
Упаковку нельзя купить частично: при остатке требуется ещё одна целая упаковка.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не умножайте число клеток площади только на 2: множитель для площади равен 2 · 2 = 4.
Не включайте площадку, если вопрос касается только дорожек.
Не округляйте количество упаковок до ближайшего целого или вниз.

Все 72 задания №2