Задание 14 из 62Текстовые задачи

Линия №11 · Повышенный уровень

Пристани $A$ и $B$ расположены на озере, расстояние между ними равно 264 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из $A$ в $B$ . На следующий день после прибытия она отправилась тем же путём обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 1 час. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$ . Найдите скорость баржи на пути из $A$ в $B$ . Ответ дайте в км/ч.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 8B3972

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 22

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это конкретная текстовая задача FIPI 8B3972. Пусть скорость на пути из A в B равна x км/ч. Тогда на обратном пути она равна x + 2 км/ч. Далее каждое число подставляется только в ту величину, которую оно описывает.

Ключевая идея:

для каждого движения применить t = S/v, учесть задержку или разность времён и решить уравнение; основная модель этой карточки записана формулой ниже

264/x = \dfrac{264}{x + 2} + 1

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: введём неизвестную, выразим через неё остальные величины, подставим данные в формулу, решим уравнение и проверим, что ответ соответствует вопросу.

Математическая модель:

S=vt,\qquad t=\dfrac{S}{v},\qquad v=\dfrac{S}{t}

264/x = \dfrac{264}{x + 2} + 1

S>0,\qquad v>0,\qquad t>0

Нужно найти: величину, указанную в вопросе условия; числовой результат 22 км/ч.

План решения: для каждого движения применить t = S/v, учесть задержку или разность времён и решить уравнение; основная модель этой карточки записана формулой ниже.

Связь пути, скорости и времени

S=vt,\qquad t=\dfrac{S}{v},\qquad v=\dfrac{S}{t}

Для каждого участника или участка отдельно записываем путь, скорость и время. Затем связываем времена условием об опоздании, остановке, задержке или одновременном прибытии.

Шаг 1. Введём неизвестную и ограничения

Сначала переводим словесное условие на язык величин и фиксируем, какие значения должны быть положительными. Пусть скорость на пути из A в B равна x км/ч. Тогда на обратном пути она равна x + 2 км/ч.

S>0,\qquad v>0,\qquad t>0

Шаг 2. Выразим связанные величины

Каждую зависимую величину выражаем через выбранную неизвестную по основной формуле этого типа задач. Время туда равно 264/x, а время движения обратно — 264/(x + 2) часов.

S=vt,\qquad t=\dfrac{S}{v},\qquad v=\dfrac{S}{t}

Шаг 3. Составим математическую модель

Подставляем выражения в одно равенство. Оно в точности передаёт указанную в условии сумму, разность времён, баланс вещества или общий путь. Основная формула здесь: Для каждого участника или участка отдельно записываем путь, скорость и время. Затем связываем времена условием об опоздании, остановке, задержке или одновременном прибытии. С учётом остановки: 264/x = 264/(x + 2) + 1.

264/x = \dfrac{264}{x + 2} + 1

Шаг 4. Решим уравнение или выполним вычисления

Преобразуем равенство последовательно: убираем знаменатели только с учётом ОДЗ, приводим подобные слагаемые и находим допустимое значение. Отсюда x(x + 2) = 528; положительный корень x = 22.

x(x + 2) = 528

Шаг 5. Ответим именно на вопрос задачи

Сверяем, какую именно величину просили найти: иногда найденная переменная относится к более медленному участнику, одной стороне пути или массе одного компонента. Скорость туда равна 22, обратно — 24 км/ч. Ответ: 22.

\boxed{22\;\text{км/ч}}

Шаг 6. Проверим и запишем ответ

Проверяем знак, смысл и единицы результата. Официально проверенный ответ для этой карточки совпадает с полученным вычислением: 22.

264/x = \dfrac{264}{x + 2} + 1

\boxed{22\;\text{км/ч}}

Если при подстановке нарушается ОДЗ или найдено значение другой величины, нужно вернуться к выбору неизвестной и последнему шагу.

Ответ:

22

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Связь пути, скорости и времени
Для каждого участника или участка отдельно записываем путь, скорость и время. Затем связываем времена условием об опоздании, остановке, задержке или одновременном прибытии.
$S=vt,\qquad t=\dfrac{S}{v},\qquad v=\dfrac{S}{t}$
Уравнение именно этой задачи
Все числа из условия подставляются в одну модель; перед решением важно проверить, какая величина обозначена x.
$264/x = \dfrac{264}{x + 2} + 1$
Допустимость и единицы
Скорости, времена, массы и производительности должны быть положительными, а ответ записывается в единицах из вопроса.
$x>0,\qquad \text{ответ}=22\;\text{км/ч}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Неверно составить основную формулу
Нужно связать величины той формулой, которая соответствует смыслу задачи.
$S=vt,\qquad t=\dfrac{S}{v},\qquad v=\dfrac{S}{t}$
Убрать знаменатели без ОДЗ
Перед умножением дробного уравнения на выражения с x нужно исключить нулевые и отрицательные значения скоростей или производительностей.
$x>0,\qquad \text{знаменатели}\ne0$
Ответить не на тот вопрос
После решения уравнения ещё раз читаем вопрос и проверяем, относится ли x к искомому объекту.
$264/x = \dfrac{264}{x + 2} + 1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{22\;\text{км/ч}}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Модель соответствует условию
Проверяем знаки, суммы и разности, а также то, что остановка или задержка учтена ровно один раз.
$264/x = \dfrac{264}{x + 2} + 1$
Корень допустим
Отбрасываем значения, при которых скорость, время, масса или производительность неположительны либо знаменатель равен нулю.
$x>0,\qquad D_{\text{знаменателя}}\ne0$
Число и единицы проверены
Итог должен отвечать вопросу задачи и быть записан в требуемых единицах.
$\boxed{22\;\text{км/ч}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №11Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена