Задание 17 из 62Текстовые задачи

Линия №11 · Повышенный уровень

Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 40 км от А. Пробыв 3 часа в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: BCABB7

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 27

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это конкретная текстовая задача FIPI BCABB7. Из общего времени вычтем стоянку: на движение затрачено 6 − 3 = 3 часов. Далее каждое число подставляется только в ту величину, которую оно описывает.

Ключевая идея:

правильно записать скорости по и против течения, выразить времена участков и связать их условием задачи; основная модель этой карточки записана формулой ниже

\dfrac{40}{x + 3} + \dfrac{40}{x - 3} = 3

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту задачу: введём неизвестную, выразим через неё остальные величины, подставим данные в формулу, решим уравнение и проверим, что ответ соответствует вопросу.

Математическая модель:

v_{\text{по}}=v_0+u,\qquad v_{\text{против}}=v_0-u,\qquad t=\dfrac{S}{v}

\dfrac{40}{x + 3} + \dfrac{40}{x - 3} = 3

v_0>u\ge0

Нужно найти: величину, указанную в вопросе условия; числовой результат 27 км/ч.

План решения: правильно записать скорости по и против течения, выразить времена участков и связать их условием задачи; основная модель этой карточки записана формулой ниже.

Движение по течению и против течения

v_{\text{по}}=v_0+u,\qquad v_{\text{против}}=v_0-u,\qquad t=\dfrac{S}{v}

К собственной скорости судна по течению прибавляется скорость течения, а против течения она вычитается. Время каждого участка равно S/v.

Шаг 1. Введём неизвестную и ограничения

Сначала переводим словесное условие на язык величин и фиксируем, какие значения должны быть положительными. Из общего времени вычтем стоянку: на движение затрачено 6 − 3 = 3 часов.

6 - 3 = 3

Шаг 2. Выразим связанные величины

Каждую зависимую величину выражаем через выбранную неизвестную по основной формуле этого типа задач. Скорости по течению и против течения отличаются от собственной скорости на скорость течения.

v_{\text{по}}=v_0+u,\qquad v_{\text{против}}=v_0-u,\qquad t=\dfrac{S}{v}

Шаг 3. Составим математическую модель

Подставляем выражения в одно равенство. Оно в точности передаёт указанную в условии сумму, разность времён, баланс вещества или общий путь. Основная формула здесь: К собственной скорости судна по течению прибавляется скорость течения, а против течения она вычитается. Время каждого участка равно S/v. Составим уравнение по времени: 40/(x + 3) + 40/(x − 3) = 3.

\dfrac{40}{x + 3} + \dfrac{40}{x - 3} = 3

Шаг 4. Решим уравнение или выполним вычисления

Преобразуем равенство последовательно: убираем знаменатели только с учётом ОДЗ, приводим подобные слагаемые и находим допустимое значение. После приведения дробей получаем положительный допустимый корень x = 27.

x = 27

Шаг 5. Ответим именно на вопрос задачи

Сверяем, какую именно величину просили найти: иногда найденная переменная относится к более медленному участнику, одной стороне пути или массе одного компонента. Следовательно, искомая скорость равна 27 км/ч.

\boxed{27\;\text{км/ч}}

Шаг 6. Проверим и запишем ответ

Проверяем знак, смысл и единицы результата. Официально проверенный ответ для этой карточки совпадает с полученным вычислением: 27.

\dfrac{40}{x + 3} + \dfrac{40}{x - 3} = 3

\boxed{27\;\text{км/ч}}

Если при подстановке нарушается ОДЗ или найдено значение другой величины, нужно вернуться к выбору неизвестной и последнему шагу.

Ответ:

27

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Движение по течению и против течения
К собственной скорости судна по течению прибавляется скорость течения, а против течения она вычитается. Время каждого участка равно S/v.
$v_{\text{по}}=v_0+u,\qquad v_{\text{против}}=v_0-u,\qquad t=\dfrac{S}{v}$
Уравнение именно этой задачи
Все числа из условия подставляются в одну модель; перед решением важно проверить, какая величина обозначена x.
$\dfrac{40}{x + 3} + \dfrac{40}{x - 3} = 3$
Допустимость и единицы
Скорости, времена, массы и производительности должны быть положительными, а ответ записывается в единицах из вопроса.
$x>0,\qquad \text{ответ}=27\;\text{км/ч}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Перепутать знаки скоростей
По течению скорость увеличивается, против течения — уменьшается.
$v_{\text{по}}=v_0+u,\qquad v_{\text{против}}=v_0-u$
Убрать знаменатели без ОДЗ
Перед умножением дробного уравнения на выражения с x нужно исключить нулевые и отрицательные значения скоростей или производительностей.
$x>0,\qquad \text{знаменатели}\ne0$
Ответить не на тот вопрос
После решения уравнения ещё раз читаем вопрос и проверяем, относится ли x к искомому объекту.
$\dfrac{40}{x + 3} + \dfrac{40}{x - 3} = 3\quad\Longrightarrow\quad \boxed{27\;\text{км/ч}}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Модель соответствует условию
Проверяем знаки, суммы и разности, а также то, что остановка или задержка учтена ровно один раз.
$\dfrac{40}{x + 3} + \dfrac{40}{x - 3} = 3$
Корень допустим
Отбрасываем значения, при которых скорость, время, масса или производительность неположительны либо знаменатель равен нулю.
$x>0,\qquad D_{\text{знаменателя}}\ne0$
Число и единицы проверены
Итог должен отвечать вопросу задачи и быть записан в требуемых единицах.
$\boxed{27\;\text{км/ч}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №11Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена